Question

Faça o mapa de contorno da função f(x, y)= raiz de 16-x^2-y^2, para K= 0,1,2.

questão em anexo;

Answer 1

f(x,y) = $\sqrt{16 - x^2 - y^2}$

Constantes:
k = 0
k = 1
k = 2

K é formado pelos Par ordenado (x,y) então substituímos na função, começando por zero:
$0 = \sqrt{16 - x^2 - y^2} =\ \textgreater \ 0^2 = \sqrt{16 - x^2 - y^2} ^2 =\ \textgreater \ -x^2 - y^2 = -16$
$-x^2 - y^2 = -16 =\ \textgreater \ x^2 + y^2 = 16$

Ou seja circunferência de raio = 4.

Agora K = 1
$1^2 = \sqrt{16 - x^2 - y^2}^2 =\ \textgreater \ 1 = 16 - x^2 - y^2 =\ \textgreater \ x^2 - y^2 = 16 - 1$
$x^2 + y^2 = 15$

Ou seja circunferência de raio = √15

Agora K = 2
$2^2 = \sqrt{16 - x^2 - y^2}^2 =\ \textgreater \ 4 = 16 - x^2 - y^2 = \ \textgreater \ x^2 +y^2 = 16 - 4$
$x^2 + y^2 = 12$

Ou seja circunferência de raio = √12.

Agora basta desenhar essas circunferências no plano cartesiano.

Answer 2

Vamos lá.

Veja, João, pelo "jeito" a questão envolve curvas de níveis, que nada mais é do que circunferências com centro em C(0; 0) e raio = r , cujo valor de "r" vai depender do valor que "k" assumir.

Antes de mais nada, veja que uma circunferência que tiver centro em C(0; 0) e raio = r, a sua equação reduzida é dada por:

(x-0)² + (y-0)² = r5² ----- ou apenas:
x² + y² = r²       . (I)

Bem, tendo, portanto, a expressão (I) acima como parâmetro, então vamos encontrar as equações de cada circunferência, quando "k" for igual a "0", igual a "1" e igual a "2".

A expressão da sua questão é esta:

f(x, y) = √(16 - x²- y²)

Agora vamos fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Para k = 0, iremos na expressão dada e substituiremos f(x; y) por "0", ficando assim:

0 = √(16-x²-y²) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, com o que ficaremos assim:

0² = [√(16-x²-y²)]² ---- desenvolvendo, ficaremos:
0 = 16 - x² - y² ----- passando "-x²-y²" para o 1º membro, teremos:
x² + y² = 16 ---- note que 16 = 4². Assim:
x² + y² = 4² <--- Veja que temos aqui uma circunferência com centro em (0; 0) e raio igual a 4 [a propósito, compare a equação que acabamos de encontrar com aquela que deixamos lá na expressão (I)]

ii) Para k = 1, iremos na expressão dada e substituiremos f(x, y) por "1", ficando:

1 = √(16 - x² - y²) ---- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros ao quadrado, ficando assim:

1² = [√(16 - x² - y²)]² ---- desenvolvendo, teremos:
1 = 16 - x² - y² ---- agora passamos "-x²-y²" para o 1º membro e passamos "1" para o 2º membro, ficando assim:

x² + y² = 16 - 1
x² + y² = 15 ---- ou, o que é a mesma coisa:
x² + y² = [√(15)]² <--- Veja que temos aqui uma circunferência com centro em (0; 0) e raio igual a √(15) [a propósito, compare a equação que acabamos de encontrar com aquela que deixamos lá na expressão (I)].

iii) Para k = 2, iremos na expressão dada e substituiremos f(x, y) por "2", ficando assim:

2 = √(16-x²-y²) ---- para eliminar o radical,elevaremos ambos os membros ao quadrado, ficando:

2² = [√(16-x²-y²)]² ----- desenvolvendo, teremos:
4 = 16 - x² - y² ---- passando "-x²-y²" para o 1º membro e passando "4" para o 2º, teremos:

x² + y² = 16 - 4
x² + y² = 12 ------ ou, o que é a mesma coisa:
x² + y² = [√(12)]² ---- como 12 = 2².3, então teremos:
x² + y² = [√(2².3)]² ---- como o "2" está ao quadrado, então ele sai de dentro da raiz quadrada, ficando:

x² + y² = [2√(3)]² <--- Veja que temos aqui uma circunferência com centro em (0; 0) e raio igual a 2√(3) [a propósito, compare a equação que acabamos de encontrar com aquela que deixamos lá na expressão (I)].

iv) Agora como a questão pede que se construa o gráfico dessas equações da circunferência (curvas de níveis) e considerando que aqui no Brainly eu não sei como construir gráficos, então veja o gráfico dessas três circunferências no endereço abaixo e constate que: quanto menor o valor de "k", maior é o raio da circunferência. Veja lá:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Bx%C2%B2%2By%C2%B2+%3D+16,+x%C2%B2%2By%C2%B2+%3D+15,+x%C2%B2%.....

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.