Question

use o algoritmo da divisão para mostrar que existe exatamente um numero da terna a, a+5 e a+10 divisivel por 3

Answer 1

 Olá Tarcisia!

 Inicialmente, consideramos que "a" seja divisível por 3, então está provado que $\mathsf{\exists q \in \mathbb{Z} | a = 3 \cdot q}$.

 Mas, caso $\mathsf{3\dagger a}$ (3 não divide "a") teremos duas possibilidades: $\mathsf{a=3\cdot q+1}$ ou $\mathsf{a=3\cdot q+2}$, onde $\mathsf{q \in \mathbb{Z}}$ e 1 e 2 são os restos da divisão por 3.
 
 Desse modo, avaliamos:

- Se $\mathsf{a=3\cdot q+1}$:

$\\ \bullet \begin{cases} \mathsf{a = (3q) + \underline{1}} \\ \mathsf{a + 5 = (3q + 1) + 5 = 3q + 6 = 3 \cdot (q + 2) + \underline{0}} \\ \mathsf{a + 10 = (3q + 1) + 10 = 3q + 11 = 3(q + 3) + \underline{2}} \end{cases}$
 
 Como pode notar, apenas uma terna deixa resto zero, ou seja, apenas a (a + 5) deixa resto zero quando dividimos por 3.


- Se $\mathsf{a=3\cdot q+2}$:

$\\ \bullet \begin{cases} \mathsf{a = (3q) + \underline{2}} \\ \mathsf{a + 5 = (3q + 2) + 5 = 3q + 7 = 3 \cdot (q + 2) + \underline{1}} \\ \mathsf{a + 10 = (3q + 2) + 10 = 3q + 12 = 3(q + 4) + \underline{0}} \end{cases}$
 
 Como podes notar, apenas uma terna deixa resto zero, isto é, somente (a + 10) deixa resto zero quando dividimos por 3.
 
 Como queríamos demonstrar.