Question

a*b=a+b+7 forma estrutura de grupo ou grupo abeliano

Answer 1

 Olá Marilsa!

 Se $\mathsf{(\mathbb{G}, \ast)}$ for um grupo, então as propriedades, seguintes, são verdadeiras. Vejamos:

- Associatividade: $\mathsf{\forall a, b, c \in \mathbb{G} \ teremos \ (a\ast b)\ast c=a\ast (b \ast c);}$

$\\ \mathsf{(a \ast b) \ast c = (a + b + 7) \ast c} \\ \mathsf{(a \ast b) \ast c = (a + b + 7) + c + 7} \\ \mathsf{(a \ast b) \ast c = a + b + c + 14}$

E,

$\\ \mathsf{a \ast (b \ast c) = a + (b + c + 7)} \\ \mathsf{a \ast (b \ast c) = a + (b + c + 7) + 7} \\ \mathsf{a \ast (b \ast c) = a + b + c + 14}$
 
 Como pode notar, $\mathsf{(a\ast b)\ast c=a\ast(b\ast c)}$. Portanto, propriedade satisfeita.

- Elemento neutro: $\mathsf{\exists e \in \mathbb{G} \ tal \ que \ a \ast e = e \ast a = a, \ \foraal a \in \mathbb{G};}$

 De início, devemos encontrar o elemento neutro; por conseguinte, efectuamos a operação com ele. Veja:

$\\ \mathsf{x \ast e = a} \\ \mathsf{a + e + 7 = a} \\ \mathsf{e + 7 = a - a} \\ \boxed{\mathsf{e = - 7}}$
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{a \ast e = e \ast a} \\ \mathsf{a \ast (- 7) = (- 7) \ast a} \\ \mathsf{a + (- 7) + 7 = (- 7) + a + 7} \\ \mathsf{a = a}$
 
 Portanto, esta propriedade também é verdadeira.

Elemento simétrico: $\mathsf{\forall a \in \mathbb{G}, \exists a' \in \mathbb{G} \ tal \ que \ a \ast a' = a' \ast a = e.}$
 
 Aqui, o raciocínio é análogo ao anterior. Isto é, encontramos o simétrico e depois verificamos se a igualdade é verdadeira. Segue,

$\\ \mathsf{a \ast a' = e} \\ \mathsf{a + a' + 7 = (- 7)} \\ \mathsf{a' = (- 14) + (- a)} \\ \mathsf{a' = - (a + 14)}$
 
 Com efeito,

$\\ \mathsf{a \ast a' = a' \ast a} \\ \mathsf{a \ast \left [ - (a + 14) \right ] = \left [ - (a + 14) \right ] \ast a} \\ \mathsf{a + \left [ - (a + 14) \right ] + 7 = \left [ - (a + 14) \right ] + a + 7} \\ \mathsf{a - a - 14 + 7 = - a - 14 + a + 7} \\ \mathsf{- 7 = - 7}$
 
 Propriedade satisfeita, então já podemos concluir que G é um GRUPO operado em *.
 
 Para saber se o grupo é Abeliano, devemos verificar mais uma propriedade, e se ela for verdadeira... GRUPO ABELIANO. 
 
 A propriedade é a comutativa. Vamos verificá-la:

Comutatividade: $\mathsf{\forall a, b \in \mathbb{G} \ temos \ a \ast b = b \ast a.}$
 
 Segue,

$\\ \mathsf{a \ast b = b \ast a} \\ \mathsf{a + b + 7 = b + a + 7}$
 
 Por fim, concluímos que, de fato, o grupo é Abeliano!!

 Palavras-chave: grupo abeliano, associatividade, elemento neutro, elemento simétrico, propriedades, comutatividade.