Question

ABCD é um trapézio, retângulo em A e D. Qual a área rachurada?
A resposta é 8(9 - 2pi)

Answer 1

Nessa tarefa, usaremos o Teorema do Quadrilátero Circunscritível.

Em todo quadritátero circunscritível (onde os quatro lados são tangentes à uma circunferência), a soma dos comprimentos de dois lados opostos é igual à soma dos comprimentos dos outros dois.


Observe a figura em anexo a esta resposta.

Usando o resultado acima, podemos escrever que

$\overline{AD}+\overline{BC}=\overline{AB}+\overline{DC}\\\\ 2r+\overline{BC}=6+12\\\\ 2r+\overline{BC}=18\\\\ \overline{BC}=18-2r\quad\quad\mathbf{(i)}$


Aplicando o Teorema de Pitágoras ao triângulo BPC, temos que

$(\overline{BP})^2+(\overline{PC})^2=(\overline{BC})^2\\\\ (2r)^2+(12-6)^2=(18-2r)^2\\\\ \diagup\!\!\!\!\!\! 4r^2+6^2=18^2-2\cdot 18\cdot 2r+\,\diagup\!\!\!\!\!\! 4r^2\\\\ 36=324-72r\\\\ 72r=324-36\\\\ 72r=288\\\\ r=\dfrac{288}{72}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}r=4 \end{array}}$


A área da parte hachurada é a área do trapézio menos a área do círculo:

$A=\dfrac{(B+b)\cdot h}{2}-\pi r^2\\\\\\ A=\dfrac{(12+6)\cdot \diagup\!\!\!\! 2r}{\diagup\!\!\!\! 2}-\pi r^2\\\\\\ A=18r-\pi r^2\\\\ A=18\cdot 4-\pi \cdot 4^2\\\\ A=72-16\pi$

$\boxed{\begin{array}{c}A=8(9-2\pi)\mathrm{~u.a.}\end{array}}$   <———    esta é a resposta.


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Bons estudos! :-)