Question

quantas placas diferentes podem ser formadas com as letras A,B,C e D e com os algarismos 1,2,3,4 e 5?

Answer 1

Para resolver a questão, deve-se usar permutação. Considerando que seja uma placa nos padrões brasileiros como está abaixo e que possa repetir as letras e os números, temos
_ _ _    _ _ _ _
 let         num
As letras (A, B, C e D) só podem ocupar as três primeiras posições, como são quatro letras e elas podem se repetir, ex.: (AAA ou BBC ou CAC...), ficamos
4 * 4 * 4 = 16 *4 = 64
Fazemos o mesmo processo para os números, os números podem ocupar as quatro últimas posições, como são cinco números (1, 2 , 3, 4, 5)  e eles podem se repetir, ex.: (1223 ou 2312 etc) , temos:
5 * 5 * 5 * 5 = 25 *5 * 5 = 125 * 5 = 625

Após encontrado os resultados separadamente os multiplicamos
64 * 625 = 40.000
Então, podemos fazer 40.000 placas diferentes.

Answer 2

Note que as placas são formadas por três letras e quatro números...

Como o problema não restringe nada, isto é, não ha restrição na repetição das letras ou números, segue que:

1- a primeira letra pode ser escolhida de 4 modos (A,B, C e D), 
2- a segunda letra pode ser escolhida de 4 modos (A,B, C e D),
3- a terceira letra pode ser escolhida de 4 modos (A,B, C e D),


e finalmente 


Agora para os números 

1- o primeira número pode ser escolhida de 5 modos (1,2,3,4 e 5), 
2- o segundo número pode ser escolhida de 5 modos (1,2,3,4 e 5), 
3- o terceiro número pode ser escolhida de 5 modos (1,2,3,4 e 5), 
4- o quarto número pode ser escolhida de 5 modos (1,2,3,4 e 5),

pelo principio fundamental da contagem segue que 

4x4x4x5x5x5x5= 40.000 placas!!!!!!!!!

Espero ter ajudado!