Question

A ordenada dos pontos de intersecção da circunferência de centro na origem e raio
unitário e a parábola descrita pela equação y = x2 é?

Resposta: $\frac{-1 + \sqrt{5} }{2}$

Gostaria de entender a resolução

Answer 1

Equação da parábola: $\boxed{y= x^2}$

Primeiro, faz-se necessário encontrar a equação da circunferência. Para isso, vamos utilizar a seguinte equação:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2= r^2$

Segundo o enunciado, essa circunferência possui o centro na origem ( 0, 0) e o seu raio é unitário ( 1). Substituindo essas informações na equação acima, teremos:
$(x-x_c)^2+(y-y_c)^2= r^2 \\ \\ (x-0)^2+(y-0)^2= 1^2 \\ \\ \boxed{x^2+y^2= 1}$

Como já temos ambas as equações, vamos encontrar onde ocorre a intersecção das cônicas, para isso, basta resolver o seguinte sistema de equações: $\left \{ {{x^2+y^2= ~1} \atop {y= ~x^2}} \right.$

Substituindo x²= y na equação da circunferência:
$x^2+y^2= 1 \\ \\ y+y^2= 1 \\ \\ y^2+y-1= 0$

Trata-se agora de uma equação do segundo grau, resolva pelo método que achar melhor. Encontrando o valor de y (a ordenada) utilizando a técnica de completar trinômio:
$y^2+y-1= 0 \\ \\ y^2+y+ \frac{1}{4}- \frac{1}{4} -1= 0 \\ \\ (y+ \frac{1}{2})^2- \frac{5}{4} = 0 \\ \\ (y+ \frac{1}{2})^2 = \frac{5}{4} \\ \\ y+ \frac{1}{2}= \pm \sqrt{\frac{5}{4}} \\ \\ y+ \frac{1}{2}= \sqrt{\frac{5}{4}} ~~~ ou ~~~ y+ \frac{1}{2}= -\sqrt{\frac{5}{4}} \\ \\ y+ \frac{1}{2}= \frac{\sqrt{5}}{2} ~~~ ou ~~~~ y+ \frac{1}{2}= - \frac{\sqrt{5}}{2} \\ \\ \boxed{y'= \frac{\sqrt{5}}{2}- \frac{1}{2} ~~~ ou ~~~ y''= -\frac{\sqrt{5}}{2} - \frac{1}{2}}$

Por fim, uma última observação: o valor de y'' resultará em um x'' com valor imaginário. Portanto, para o conjunto dos números reais, consideraremos como resposta:
$\boxed{\boxed{y'= \frac{\sqrt{5}}{2}- \frac{1}{2}}}$