Question

(10 PONTOS) Resolva a seguinte equação biquadrada:

$x^4 -5x^2 +4 = 0$


Resposta: S = { -2; -1; 1 ; 2}

Answer 1

x⁴ - 5x² + 4 =0
Fazendo   x⁴ = y²   e  x² = y  teremos uma equação do segundo grau e acharemos 2 raizes  y1 e y2 . As raizes da  biquadrada  x serão as raizes de y1 e y2 

y² - 5y + 4 = 0
delta = 25 - 16 = 9 ou +-V9 = +-3 ****
y = ( 5 +- 3)/2
y1 = 8/2 = 4 ****
y2 = 2/2 = 1 *****
x1 = x2 = +-V4 = +-2 ****
x3 = x4 = +-V1 = +-1 ***

S= { -2,-1,1,2 }

Answer 2

$x^4-5x^2+4=0\\\\ x^{2\,\cdot\,2}-5x^2+4=0\\\\ (x^2)^2-5x^2+4=0$


Faça a seguinte mudança de variável:

$x^2=t\quad(t\ge 0)$


Substituindo, a equação fica

$t^2-5t+4=0$


Resolvendo usando fatoração por agrupamento. Reescreva $-5t$ como $-t-4t$ e fatore o lado esquerdo:

$t^2-t-4t+4=0\\\\ t\cdot (t-1)-4\cdot (t-1)=0\\\\ (t-1)\cdot (t-4)=0\\\\ \begin{array}{rcl} t-1=0&~\text{ ou }~&t-4=0\\\\ t=1&~\text{ ou }~&t=4 \end{array}$


Voltando à variável $x,$ devemos ter

$\begin{array}{rcl} x^2=1&~\text{ ou }~&x^2=4\\\\ x=\pm \sqrt{1}&~\text{ ou }~&x=\pm\sqrt{4}\\\\ x=\pm 1&~\text{ ou }~&x=\pm 2 \end{array}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} x=1~\text{ ou }~x=-1~\text{ ou }~x=2~\text{ ou }~x=-2 \end{array}}$


Conjunto solução:   $S=\{-2,\,-1,\,1,\,2\}.$


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Bons estudos! :-)