Question

O módulo do número complexo (1 + i)-³ é:
a) raiz de 2
b) 1
c) -3
d) (raiz de 2)/4
e) 0
RESPOSTA: D
Por que nao pode ser (raiz de 2)/2?

Answer 1

Lembrando que i = √-1 e i² = -1 !
Expoente negativo : "x^-y = 1 /x^y"

Sendo assim, (1 + i)^-3 = 1 /(1 + i)³ ...

1 /(1 + i)³... para ficar mais fácil, podemos fazer em partes :
1 /((1 + i)² * (1 + i)

(1 + i)² = (1 +  i) * (1 + i) = 1 + i + i + i² = 1 + 2*i - 1 ⇒ 2*i... logo :

1/(2*i * (1 + i)) ⇒ 1/(2*i + 2*i²) = 1/(2*i -2) ⇒ 1/(-2 + 2*i)...
 
Não podemos deixar raízes no denominador (i = √-1), logo, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado de (-2 + 2*i)...

Conjugado : Troca-se o sinal do termo com "i"!
Ou seja, neste caso, o conjugado de (-2 + 2*i) é (-2 -2*i) ...

1  * (-2 -2*i) / ((-2 + 2*i) * (-2 -2*i)) ⇒ Vou separar para ficar mais compreensível :

(-2 + 2*i) * (-2 -2*i) = 4 + 4*i - 4*i - 4*i² = 4 -4*(-1) = 4 + 4 ⇒ 8...

Logo, ficamos com :  (-2 -2*i) / 8
Podemos simplificar, chegando em : (-1 -i)/4

Módulo : √(a² + b²) , onde a e b são os coeficientes do número complexo !

Neste caso, os coeficientes de (-1 -i)/4 são : 

a = -1/4 e b = -1/4 (lembre-se que na parte imaginária o coeficiente é quem multiplica "i" ! )...

Módulo = √((-1/4)² + (-1/4)²) ⇒ Eleva-se o numerador e o denominador !

Módulo = √((1/16) + (1/16))

Módulo = √(2/16) ⇒ Podemos "separar" as raízes :

Módulo = √2 / √16

Módulo = √2 / 4 ⇒ lembrando que o módulo não é negativo ! (por isseo, descarta-se "-4"...) 

Logo, alternativa "d)" ! 

Answer 2

Resposta:

$(\frac{1}{1+i} )^3\\\\(1+i)^3=\\(1+i)^2.(1+i)^=\\1^2+2.1.i+i^2=\\1+2i-1=\\2i+2$          

$\frac{1}{2+2i} . \frac{2-2i}{2-2i}= \frac{2-2i}{4-4i+4i-4i^2}=\frac{2-2i}{4+4}$

$\frac{2-2i}{8} \\\frac{1-i}{4} \\\\\sqrt[]{\frac{1}{4} )^2} +\frac {-i}{4} )^2$

$\sqrt[]{\frac{1}{16}+ \frac{-1.-1}{16} } \\\\\sqrt[]{\frac{1}{16} + \frac{1}{16} }$

$\sqrt[]{\frac{2}{16} }\\\\\frac{\sqrt{2} }{4}$....... letra D

explicação:

o $\frac{2-2i}{8}$ eu simplifiquei por 2