Question

Alguém poderia fazer a demonstração da função quadrática na forma canônica?

Answer 1

f(x) = ax² + bx + c → função do segundo grau na forma canônica. É a forma que nós conhecemos; a, b e c coeficientes reais onde a ≠ 0.

Vamos escrever de um outra forma: 

1) ax² +bx + c = 0 

Vamos multiplicar ambos membros dessa equação por 4a

(4a) * (ax² +bx + c) = 4a * 0

4a²x² + 4abx + 4ac = 0 

2) Colocar 4ac para o 2º menbro 

4a²x² + 4abx + 4ac = 0 

4a²x² + 4abx = -4ac 

3) Adicionar em ambos membros b²

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

Observe que ficamos com um trinômio quadrado perfeito no primeiro membro. 

4) Fatorar (simplificar) o 1º membro do item 3.

4a²x² + 4abx + b² = -4ac + b²

4a²x² + 2abx + 2abx + b² = -4ac + b²

2ax(2ax + b) + b(2ax + b) = -4ac + b²

(2ax + b) [ 2ax + b] = -4ac + b²

(2ax + b)² = -4ac + b² 

5) Agora extrair raiz quadrada dos dois membros

√((2ax + b)²) = √(b² - 4ac)

|2ax + b| = √(b² - 4ac) → (5.1)

■ Nota: √(b² - 4ac) é um número, uma constante!

Pela propriedade de módulo temos:

|x| = k ⇔ x = ±k → (5.2)

Apliquemos a propriedade (5.2) em (5.1)

2ax + b = ±√(b² - 4ac)

6) Passar o b do primeiro membro para o segundo membro:

2ax = -b ±  ±√(b² - 4ac)

7) Dividir os dois membros por 2a ( a ≠ 0 por definição da função)

2ax/2a =  [-b ± √(b² - 4ac)]/2a

Portanto, x = [-b ± √(b² - 4ac) / 2a]

Daí temos dois valores para x: 
x1 = [-b - √(b² - 4ac) / 2a]
x2 = [-b + √(b² - 4ac) / 2a]

x1 e x2 são denominados raízes da função do segundo grau.

8) Ao número (b² - 4ac) damos o nome de DELTA = ▲. É o discriminante da função do segundo grau. 

• Se ▲ > 0 → x1 e x2 são dois números reais e distintos;
• Se ▲ = 0 → x1 = x2 são números reais e iguais;
• Se ▲ < 0 → x1 e x2 são dois números complexos (nã pertencentes aos números reais distintos)

Espero que tenha ajudado.

*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*
11/10/2016
Sepauto 
*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*-*