Question

Um salão cinco portas e ficará aberto, se pelo menos, uma das portas estiver aberta. Calcule de quantas maneiras diferentes o salão poderá ser aberto?

Answer 1

Usar combinação simples

Como o exercício diz que pelo menos uma das portas deverá estar aberta, deveremos calcular para os seguintes casos
uma porta aberta
duas portas abertas
três portas abertas
quatro portas abertas
cinco portas abertas

para uma porta aberta
                 5!              5!         5.4!
C5,1  = -----------  =  ------  = ------- = 5
             (5 - 1)!1!      4!1!       4!1

para duas portas abertas
                 5!              5!        5.4.3!        5.4      20
C5,2  = -----------  =  ------  = -------    =   ----- =  ----  = 10
             (5 - 2)!2!      3!2!      3!2.1           2         2

para três portas abertas
                 5!              5!        5.4.3!        5.4      20
C5,3  = -----------  =  ------  = -------    =   ----- =  ----  = 10
             (5 - 3)!3!      2!3!      2.1.3!          2         2

para quatro portas abertas
                 5!              5!         5.4!
C5,4  = -----------  =  ------  = ------- = 5
             (5 - 4)!1!      1!4!       1.4!

para cinco portas abertas
                 5!              5!         5!
C5,5  = -----------  =  ------  = ------- = 1
             (5 - 5)!1!      0!5!       1!5!

Portanto o salão ficará aberto 
5 (uma porta aberta) + 10 (duas portas abertas) + 10 (três portas abertas) + 5 (quatro portas abertas) + 1 (cinco portas abertas) = 31 maneiras diferentes.