Question

a aresta de um cubo cresce a taxa de 3 cm/s determine a taxa de variação do volume do cubo no instante que a aresta é 8

Answer 1

temos:$\displaystyle a(t_1)=8cm\\\\ \frac{da}{dt}=3cm/s\\\\V(t)=a^3(t)$
Então a taxa de variação do cubo é a derivada da função V(t), que é uma composta $(V\circ a)(t)=V(a(t))$
Então temos que fazer a regra da cadeia:
$\displaystyle \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{da}\cdot\frac{da}{dt}$
obtendo:
$\displaystyle i)\ \frac{dV}{dt}=\frac{dV}{da}\cdot\frac{da}{dt}\implies \frac{dV}{dt}=\frac{d}{da}a^3\cdot 3cm/s \implies \frac{dV}{dt}=3.3a^2cm/s\\\boxed{9a^2cm/s}$
calcular no ponto a = 8cm
$\displaystyle ii)\ \frac{dV}{dt}\horizontalbar\limits_{a=8cm}=9\cdot 8^2cm/s= 576cm^3/s$

Answer 2

Taxas Relacionadas

Para resolver problemas de taxas relacionadas, adota-se o seguinte roteiro:

1) Identificar as variáveis.

1) Identificar as variáveis.2) Achar uma relação entre as variáveis

1) Identificar as variáveis.2) Achar uma relação entre as variáveis3)derivar em relação a variável de referência

1) Identificar as variáveis.2) Achar uma relação entre as variáveis3)derivar em relação a variável de referência4)substituir os valores conhecidos

1) Identificar as variáveis.2) Achar uma relação entre as variáveis3)derivar em relação a variável de referência4)substituir os valores conhecidos5)isolar o que se deseja calcular

Dados:

$\mathsf{\dfrac{dL}{dt}=3cm/s}$

$\mathsf{L=8cm}$

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=? }$

1) As variáveis são aresta e volume

2)uma relação entre volume e aresta é

$\mathsf{v={L}^{3}}$

3) derivando em relação ao tempo temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=3{L}^{2}.\dfrac{dL}{dt}}$

4) substituindo os valores temos

$\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=3.{8}^{2}.3}$

$\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dV}{dt}=576{cm}^{3}/s}}}$