Question

Resolva em R as inequações a seguir:

f) (x2-9) (x2-7x+10) < 0

i) (x-3) (x2-9) / x2-2x-3 > 0

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Aritoldme, que a resolução é simples.

Pede-se para resolver, em R, as inequações a seguir:

f)

(x²-9)*(x²-7x+10) < 0

Veja que temos uma inequação-produto, cujo resultado deverá ser menor do que zero. Temos duas funções do 2º grau, que são: f(x) = x²-9 e g(x) = x²-7x+10.
Faremos o seguinte: encontraremos as raízes de cada uma das equações. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada ma delas. Finalmente, daremos o conjunto-solução (domínio) do produto da inequação-produto original.
Assim, teremos:

f(x) = x² - 9 ----> raízes: x²-9 = 0 ----> x' = - 3; x'' = 3.
g(x) = x²-7x+10 ---> raízes: x²-7x+10 = 0 ---> x' = 2; x'' = 5.

Agora vamos estudar a variação de sinais de cada uma das equações:

a) f(x) = x² - 9 .......+ + + + + + + (-3)- - - - - - - - - - (3)+ + + + + + + + + + + + + +
b) g(x)=x²-7x+10..+ + + + + + + + + + + + +(2)- - - - - - - - - - (5)+ + + + + + + + +
c) a * b . . . . . . . . .+ + + + + + + (-3)- - - - -(2)+ + +(3)- - - - -(5)+ + + + + + + + +

Com o queremos que o produto f(x)*g(x) seja menor do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MENOS no item "c" acima, que nos fornece o resultado do produto de f(x) por g(x). Assim, os intervalos de domínio da inequação dada serão:

 -3 < x < 2, ou 3 < x < 5 ------- Esta é a resposta.

Se quiser, o conjunto-solução (domínio) também poderá ser dado da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

D = {x ∈ R |  -3 < x < 2, ou 3 < x < 5}

Ou, também se quiser, o domínio poderá ser apresentado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-3; 2) ∪ (3; 5) .

i) [(x-3)*(x²-9)] / (x²-2x-3) > 0

Aqui temos um "misto" de inequação-produto-quociente, ou seja, temos, no numerador o produto entre duas equações, sendo este produto dividido por uma outra equação.
Temos: f(x) = x-3; g(x) = x²-9 e h(x) = x²-2x-3.

A exemplo do que fizemos na questão anterior, veremos quais são as raízes de cada uma das equações dadas. Depois, em função de suas raízes, estudaremos a variação de sinais de cada uma delas. Finalmente, daremos o conjunto-solução (domínio) da inequação originalmente dada.
Assim temos:

f(x) = x - 3 ---> raízes: x - 3 = 0 ----> x = 3
g(x) = x² - 9 ---> raízes: x²-9 = 0 ---> x' = - 3; x'' = 3
h(x) = x²-2x-3 ---> raízes: x²-2x-3 = 0 ---> x' = -1; x'' = 3

Agora vamos à análise de variação de sinais de cada uma delas:

a) f(x) = x - 3 .....- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - (3)+ + + + + + + + + + + + + + +
b) g(x) = x²-9.....+ + + + + +(-3)- - - - - - - -  - - - (3)+ + + + + + + + + + + + + + +
c) h(x)=x²-2x-3..+ + + + + + + + + + +(-1)- - - - - (3)+ + + + + + + + + + + + + + +
d) (a * b) / c . . . - - - - - - - -(-3)+ + + (-1)- - - - -(3)+ + + + + + + + + + + + + + +

Como queremos que [f(x)*g(x)/h(x) seja MAIOR do que zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de MAIS no item "d" acima, que nos fornece o resultado da inequação-produto-quociente, ou seja: [f(x)*g(x)/h(x) > 0].
Assim, os intervalos de domínio da inequação original será dado por:

-3 < x < -1, ou x > 3 .

Se quiser, o conjunto-solução (domínio) poderá ser dado da seguinte forma, o que significa a mesma coisa:

D = {x ∈ R | -3 < x < -1, ou x > 3}

Ou ainda, também se quiser, o domínio poderá ser dado do seguinte modo, o que significa o mesmo:

D = (-3; -1) ∪ (3; +∞) .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.

Answer 2

f) a)     (2x-3)(x²-7x+10)=0

2x-3 = 0  2x = 3   => x = 3/

x2 -7x +10 =0

delta =  (-7)^2 - 4.1.10

delta= 49 - 49 = 9

x=  (-7) + ou - V9    => 7 + ou - 3

            2.1                        2

 

x1= 7 - 3 =  4/2 => x1 = 2

         2

 

x2 = 7+ 3  = 10/2  => x2 = 5  2

x² – 2x – 3 > 0 
∆ = b² - 4.a.c 
∆ = (-2)² - 4.1.(-3) 
∆ = 4 + 12 
∆ = 16 

x = -b ± √∆ / 2.a 
x = -(-2) ± 4 / 2.1 

x1 = 6/2 = 3 

x2 = -2/2 = -1 

S = {Ø}**