Question

calculem os valores das potências z2, z3 e z9, sabendo que z= 2 (cos π/3 + i sen π/3)

Answer 1

usando a fórmula de potência de números complexos, tem-se esses valores para cada potencia

Answer 2

A potenciação nada mais é que a multiplicação de valores iguais, então para entender a potência de números complexos, devemos entender a multiplicação.

Para multiplicar números complexos na forma trigonométrica, devemos multiplicar seus módulos e somar seus ângulos, ou seja, dados y = c(cos(∅1) + i.sen(∅1)) e z = k(cos(∅2) + i.sen(∅2)), temos que yz será dado por:

yz = c.k(cos(∅1+∅2) + i.sen(∅1+∅2))

Sendo assim se y for igual a z, quando multiplicarmos, teremos y² = c²(cos(2.∅1) + i.sen(2.∅1)), portanto, para calcular os valores das potências z², z³ e z⁹, devemos elevar o módulo a estes expoentes e multiplicar o ângulo por estes expoentes.

z² = 2²(cos(2π/3) + i.sen(2π/3) = 4(cos(2π/3) + i.sen(2π/3))

z³ = 2³(cos(3π/3) + i.sen(3π/3) = 8(cos(π) + i.sen(π))

z⁹ = 512(cos(9π/3) + i.sen(9π/3) = 512(cos(3π) + i.sen(3π))