Question

Considere a função real de variável Real Expresso por y=g(x)= x/x+1

a) obtenha a função derivada da função g

Answer 1

Olá!

Temos:

g(x) = x/x+1 --> Usaremos a Regra do Quociente (h/i)' = h'i-hi' / h²

Temos:

h(x) = x  => h'(x) = 1
i(x) = x+1 => i'(x) = 1

Logo, a derivada será:

g'(x) = h'(x).i(x) - h(x).i'(x) / [i(x)]² 

Substituindo os valores:

g'(x) = 1.(x+1) - x.1 / (x+1)² = x+1-x / x²+2x+1 = 1/x²+2x+1

∴ g'(x) = 1/x²+2x+1

Espero ter ajudado! :)

Answer 2

$f(x)=\dfrac{x}{x+1}$


Não usarei diretamente a regra da derivada do quociente, mas antes, vou escrever a lei de $f$ de uma forma mais simples.


Somando e subtraindo $1$ ao numerador:

$f(x)=\dfrac{x+1-1}{x+1}\\\\\\ f(x)=\dfrac{x+1}{x+1}-\dfrac{1}{x+1}\\\\\\ f(x)=1-\dfrac{1}{x+1}\\\\\\ f(x)=1-(x+1)^{-1}$


Derivando em relação a $x,$

$f'(x)=\big[1-(x+1)^{-1}\big]'\\\\ f'(x)=(1)'-\big[(x+1)^{-1}\big]'\\\\ f'(x)=0-(-1)\cdot (x+1)^{-1-1}\cdot (x+1)'\\\\ f'(x)=(x+1)^{-2}\cdot 1\\\\ f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)^2}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c}f'(x)=\dfrac{1}{x^2+2x+1} \end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)