Question

sendo a função real f(x)=x^2 +mx+(m-1) onde m é um número real, tem um único ponto comum o eixo das obscissas.a)Determine a lei da função x
b)e determine o conjunto imagem para f(x)

Answer 1

Se a função f(x) = x² + mx + (m-1) só tem um único ponto no eixo das abscissas, ou seja, possui somente uma raiz, então Δ = 0.

Então, fazemos Δ = 0 e achamos o valor de m:

$\Delta=b^{2}-4\cdot a\cdot c\ \Rightarrow b^{2}-4\cdot a\cdot c=0\ \Rightarrow m^{2}-4\cdot 1\cdot (m-1)=0\\ \\ m^{2}-4m+4=0$

Agora vamos resolver a nova equação e achar o valor de m.

$m^{2}-4m+4=0$

Para facilitar, e não precisar usar Bhaskara, observe que a equação é um quadrado perfeito, assim:

$m^{2}-4m+4=0\Rightarrow \left(m-2\right)^{2}=0\\ \\ m-2 = 0\Rightarrow m = 2$

Agora que sabemos o valor de m, basta substituir na função dada e obter a sua lei de formação:

$f(x)=x^{2}+mx+(m-1)\Rightarrow f(x)=x^{2}+2x+(2-1)\Rightarrow\\ \\ f(x)=x^{2}+2x+1$

Como o coeficiente a>0 (parábola para cima) e a função toca num único ponto do eixo das abscissas, nesse ponto a ordenada y é igual a 0,então podemos concluir que a imagem da função é:

Im = {y ∈ R | y ≥ 0}

Outra forma para acharmos a Imagem da função basta saber o vértice da parábola e se a parábola tem concavidade para cima ou para baixo, ou seja, se a>0 ou se a<0.

Na função dada a>0 (parábola para cima) e o vértice é:

$y_{v}=\dfrac{-\Delta}{4a}\Rightarrow y_{v}=\dfrac{-\left(b^{2}-4\cdot a\cdot c\right)}{4a}\Rightarrow y_{v}=\dfrac{-\left(2^{2}-4\cdot 1\cdot 1\right)}{4\cdot 1}\Rightarrow\\ \\ \\ y_{v}=\dfrac{-\left(4-4\right)}{4}\Rightarrow y_{v}=\dfrac{-0}{4}\Rightarrow y_{v}=\dfrac{-0}{4} = 0$

Assim, Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 0}


a) f(x)=x²+2x+1

b) Im(f) = {y ∈ R | y ≥ 0}