Question

Nessa ordem, as sequências (3, x e y) e (x, y e 8) são, respectivamente, termos consecutivos de uma progressão aritmética e de uma progressão geométrica de razões positivas, sendo x e y números reais. Sabendo-se que x e y representam as medidas das diagonais de um losango, pode-se concluir que a área desse losango é

(A) 13,5 cm².

(B) 12,0 cm².

(C) 10,5 cm².

(D) 9,0 cm².

(E) 8,5 cm².

Answer 1

2x = 3+y --> y = 2x-3

y² = 8x
(2x-3)² = 8x
(2x)² - 2*2x*3 + 3² = 8x
4x² - 12x + 9 - 8x = 0
4x² -20x + 9 = 0 
/\ = (-20)² - 4*4*9
/\ = 400 - 144
/\ = 256
x = (-(-20)+/- \/256)/2*4
x = (20+/-16)/8
x' = (20+16)/8 = 36/8 = 9/2 -- y = 2x-3 = 2.9/2-3 = 9-3 = --> y' = 6
x" = (20-16)/8 = 4/8 = 1/2 -- y = 2x-3 = 2.1/2-3 = 1-3 = -2 nao convem

y = 2x-3
2x-3 = 6
2x = 6+3
2x = 9
x = 9/2
x = 4,5

A = D*d/2
A = 6*4,5/2
A = 3*4,5
A = 13,5 cm²

Answer 2

PA (3, x e y), onde
primeiro termo = 3
segundo termo = x
terceiro termo = y

Sabendo que r = segundo termo - primeiro termo = x - 3  (1)
                         r = terceiro termo - segundo termo = y - x    (2)

Igualando (1) e (2)
x - 3 = y - x
x + x = y + 3
2x = y + 3
y + 3 = 2x
y = 2x - 3                (3)

PG (x, y e 8), onde
primeiro termo = x
segundo termo = y
terceiro termo = 8

Sabendo que q = segundo termo/primeiro termo = y/x  (4)
                         q = terceiro termo/segundo termo = 8/y  (5)

Igualando (4) e (5)
 y        8
---  = ----    Multiplicando em cruz        y² = 8.x            (6)
 x        y

Substituindo (5) em (6)
(2x - 3)² = 8x
(2x)² - 2.2x.3 + 3² = 8x
4x² - 12x + 9 = 8x
4x² - 12x - 8x + 9 = 0
4x² - 20x + 9 = 0

a = 4  b = - 20  c = 9
Δ = b² - 4ac
Δ = (-20)² - 4.4.9
Δ = 400 - 144
Δ = 256
x = - b + ou - √Δ      - (- 20) + ou - √256          20 (+ ou -) 16
     ------------------- =  -------------------------- =  -----------------------
               2a                          2.4                                  8

       20 + 16      36       9
x =  -----------  = ---- =  ---- = 4,5
           8              8        2


      20 - 16         4       1
x =  -----------  = ---- =  ---- = 0,5
           8              8        2

Substituindo x = 4,5 em y = 2x - 3
y = 2.4,5 - 3 = 9 - 3 = 6              Diagonal maior, pois 6 > 4,5

Portanto calculando a área do losango, onde x e y representam os valores das diagonais de um losango, temos
        x  *  y      6 x 4,5       27
A = ---------  =  --------- =  ------- = 13,5 cm²          (A)
           2               2              2

Substituindo x = 0,5 em y = 2x - 3
y = 2.0,5 - 3 = 1 - 3 = - 2              NÃO SERVE