Question

(ITA-70) Seja dada uma progressão geométrica de três termos positivos, tal que o primeiro termo, a razão, o terceiro termo e a soma dos três termos, formam, nesta ordem, uma progressão aritmética. Calcule a razão da progressão geométrica.

Answer 1

PG (x/q, x , xq)

PA (x/q , q , xq , [ x/q + x + xq ] )

R1 = a4 - a3

R1 = x/q + x + xq - xq

R1 = x/q + x

R2 = a3 - a2

R2 = xq - q

R1 = R2

x/q + x = xq - q

x + xq = xq² - q²

q² = xq² - x - xq

q² = x(q² - 1 - q)

x = q²/(q² - 1 - q) ①

.........

R3 = a3 - a2

R3 = xq - q

R4 = a2 - a1

R4 = q - x/q

R3 = R4

xq - q = q - x/q

xq² - q² = q² - x

xq² + x = 2q²

x(q² + 1) = 2q²

x = 2q²/(q² + 1) ②

.......

iguala a equacao ① com a ②

q²/(q² - 1 - q) = x = 2q²/(q² + 1)

1/(q² - 1 - q) = 2/(q² + 1)

2(q² - 1 - q) = q² + 1

2q² - 2 - 2q = q² + 1

2q2 - 2 - 2q - q² - 1 = 0

q² - 2q - 3 = 0

∆ = b² - 4ac

∆ = (-2)² - 4.1.(- 3)

∆ = 4 + 12

∆ = 16

x = - b±√∆ /2a

x = -(- 2)±√16 /2.1

x = 2±4 /2

x' = 2 + 4 /2

x' = 3

x" = 2 - 4 /2

x" = - 2/2

x" = - 1 ( nao convem)

como a progressao geometrica tem termos positivos, entao a razao é igual a 3

R.: q = 3