Question

Resolva a seguinte inequação modular:
|3-2x|<|4+x|

Answer 1

$|3-2x|<|4+x|$


Se tomarmos os quadrados dos módulos, a desigualdade se mantém:

$|3-2x|^2<|4+x|^2\\\\ (3-2x)^2<(4+x)^2\\\\ 9-12x+4x^2<16+8x+x^2\\\\ 9-12x+4x^2-16-8x-x^2<0\\\\ 3x^2-20x-7<0$


Vamos fatorar o lado esquerdo por agrupamento. Reescreva $-20x$ como $-21x+x:$

$3x^2-21x+x-7<0\\\\ 3x\cdot (x-7)+1\cdot (x-7)<0\\\\ (x-7)\cdot (3x+1)<0\qquad{\mathbf{(i)}}$


A desigualdade acima é uma inequação-produto. Vamos fazer o estudo dos sinais dos fatores:

$\begin{array}{cc} x-7~~&\underline{---}\underset{-\frac{1}{3}}{\bullet}\underline{----}\underset{7}{\bullet}\underline{+++}\\\\ 3x+1~~&\underline{---}\underset{-\frac{1}{3}}{\bullet}\underline{++++}\underset{7}{\bullet}\underline{+++}\\\\\\ (x-7)\cdot (3x+1)~~&\underline{+++}\underset{-\frac{1}{3}}{\bullet}\underline{----}\underset{7}{\bullet}\underline{+++}\\\\\\ \end{array}$


Como queremos que o produto seja negativo, o intervalo de interesse é

$-\,\dfrac{1}{3}<x<7.$


Conjunto-solução:    $S=\left\{x\in\mathbb{R}:~-\,\frac{1}{3}<x<7 \right \}$


ou usando a notação de intervalos,

$S=\left]-\,\frac{1}{3},\,7\right[~.$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)

Answer 2

|-2x + 3| - |x + 4|< 0
analisando cada função módulo:
para |-2x + 3|
 ⇒     __________3/2____________           
             -2x + 3            2x - 3
para |x + 4|
⇒      _________-4_______________
             -x - 4              x + 4
montando o quadro:
                      __________-4_________________3/2_______________
|-2x + 3|         |    -2x + 3      |        -2x + 3                |      2x - 3
|x + 4|            |     -x - 4        |            x + 4               |    x + 4
|-2x+3|-|x+4|  |      -x + 7      |          -3x - 1               |     x - 7
então
 para x < -4
         ⇒ -x + 7 < 0 ⇒ -x < -7 ⇒ x > 7
              (S1) = ∅
para  -4  < x  < 3/2
         ⇒ -3x  - 1 < 0 ⇒ -3x < 1 ⇒ 3x > -1 ⇒ x > -1/3
             (S2) = {x ∈ R /  -1/3  < x < 3/2} 
para x > 3/2 
         ⇒ x - 7 < 0 ⇒ x < 7
            (S3) = { x ∈ R /   3/2  <  x < 7}
Conjunto Solução final: S1 ∪ S2 ∪S3 ⇒ ]-1/3     7[
Resposta:      x ∈ R / x esteja no intervalo -1/3 e 7