Question

a soma de um numero racional com um irracional pode dar um numero racional. Preciso de exemplos

Answer 1

Acho que não! Veja o porquê:

 Sabemos que um número racional pode ser escrito na forma $\mathsf{\frac{a}{b}}$, onde $\mathsf{b \neq 0}$.
 
 Considere $\mathsf{\lambda}$ como sendo um irracional qualquer. 

 Supomos, por absurdo, que a soma $\mathsf{\frac{a}{b} + \lambda}$ seja um número irracional. Ou seja, representando a soma acima por $\mathsf{\frac{c}{d}}$ desde que, $\mathsf{c, d \in \mathbb{Z}, \ d \neq 0}$, teremos $\mathsf{\frac{c}{d}\in\mathbb{I}}$.
 
 Mas, de acordo com o conceito de números irracionais, estes números correspondem às dizimas não periódicas; isto é, não podem ser escritos na forma $\mathsf{\frac{p}{q}, \ q \neq 0}$. Isto posto, nota-se que estamos diante de uma contradição, pois $\mathsf{\frac{c}{d}, \ d \neq 0}$ (resultado da soma).