Question

resolvendo-se,corretamente, a equação log(x+3) + log(4x+9) é igual2 log(2x) encontra-se como solução??

Answer 1

Vamos lá.

Késia, estamos entendendo que a base dos logaritmos seja "10", pois quando a base é omitida subentende-se que ela seja "10".
Então vamos tentar resolver a questão considerando a base "10". Assim teremos:

log₁₀ (x+2) + log₁₀ (4x+9) = 2log₁₀ (2x)

Antes de mais nada vamos procurar as condições de existência da expressão acima. Como só existem logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos (x+2), (4x+9) e "2x" sejam, todos, maiores do que "0". Assim:


x + 2 > 0
x > -2

4x + 9 > 0
4x > -9
x > -9/4 (o que dá x > - 2,25)

2x > 0
x > 0/2
x > 0 .

Agora veja: entre "x" ser maior do que "-2", maior do que "-2,25" e maior do que "0" , vai prevalecer esta última condição, que é x > 0, pois sendo x > 0 já o será maior do que "-2" e maior do que "-2,25".
Assim, vai prevalecer, como condição de existência apenas:

x > 0 ------- Esta é a condição de existência da expressão logarítmica dada.

Então vamos continuar e, para isso, vamos repetir a nossa expressão, que é esta:

log₁₀ (x+2) + log₁₀ (4x+9) = 2log₁₀ (2x)

Veja: no 1º membro vamos transformar a soma em produto; e, no 2º membro, vamos passar para o expoente do logaritmando o "2" que está multiplicando o log. Com isso, ficaremos assim:

log₁₀ [(x+2)*(4x+9)] = log₁₀ [(2x)²] ----- desenvolvendo, ficaremos com:
log₁₀ [4x²+17x+18)] = log₁₀ [4x²]

Agora note: como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Assim:

4x² + 17x + 18 = 4x² ---- passando o 2º membro para o 1º, teremos:
4x² + 17x + 18 - 4x² = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, temos:
17x + 18 = 0
17x = - 18
x = - 18/17 <---- Veja que este foi o valor que encontramos para "x".

Revendo as condições de existência, vimos que a expressão dada só seria possível se "x" fosse maior do que zero.
Como encontramos que x = - 18/17 (portanto um número negativo), então somos obrigados a afirmar que a expressão dada não tem resposta no âmbito dos Reais, pelo que você poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma:

S = ∅  ou, se quiser: S = { } .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.