Question

A função exponencial é uma das funções matemáticas mais úteis em estudos
ambientais, aplicável, entre outros exemplos, ao crescimento das populações
e das suas necessidades (consumo de recursos) e ao estudo de problemas
como a acumulação de poluentes e ainda no decaimento radioativo. A
radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por
emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis em geral são grandes e, por
isso, emitem partículas e radiação para se tornarem estáveis. A medida de
tempo na qual metade do material radioativo se desintegra é denominada meia-vida
ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre
constante para um mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período
de tempo P a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior,
sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo
com a quantidade inicial por meio de uma função do tipo exponencial:

M(t) = M0 . ( 2 )^-t/p

Onde:

M0 – quantidade (massa) inicial de material radioativo.
t – tempo decorrido.
p – valor da meia-vida do material radioativo considerado.

O acidente radioativo ocorrido na cidade StoryBrooke lançou na atmosfera uma
grande quantidade de elementos radioativos, como por exemplo, o Urânio -235.
Esse elemento tem sua meia vida igual a 21. Suponha que a quantidade inicial
(M0) encontrada de Urânio -235 no local do acidente foi de 128 g. Sabendo que
o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de Urânio -235
reduzir, por desintegração, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local
poderá ser habitado novamente a partir de quantos meses?

Construa o gráfico correspondente e observe o decaimento da quantidade
de material radioativo de acordo com o tempo.

Answer 1

$M(t)=M_0.(2)^-{\frac{t}{p}}\\\\\frac{M_0}{16}=M_0.(2)^{-\frac{t}{21}}\\\\\frac{1}{16}=2^{-\frac{t}{21}}\\\\\frac{1}{2^4}=2^{-\frac{t}{21}}\\\\2^{-4}=2^{-\frac{t}{21}}\\\\-\frac{t}{21}=-4\\\\-t=-84\\\\t=84$

Não sei se esse 't' é em relação a anos ou a meses, mas caso seja anos será de:
84*12 = 1.008 meses

Pra construir o gráfico é só você ir substituindo o valor de 't' na função pra ir encontrando os valores da quantidade do material em função do tempo