Question

Obtenha a expressão polinomial do 3° grau da função y = f(x) cujo gráfico contem os pontos A(-4,0),B(-2,0),C(4,0) e P(0,32)

Answer 1

Temos uma função de 3º grau que passa pelos pontos A(– 4, 0),  B(–2, 0),  C(4, 0),  P(0, 32).

Notamos que esta função tem três raízes, correspondentes aos pontos A, B, C:

$\mathtt{r_1=-4}\\\\ \mathtt{r_2=-2}\\\\ \mathtt{r_3=4}$

e como são raízes, temos que

$\mathtt{f(r_1)=f(r_2)=f(r_3)=0}.$


Conhecidas as raízes, a lei que rege a função f é descrita por

$\mathtt{f(x)=a(x-r_1)(x-r_2)(x-r_3)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\big(x-(-4)\big)\big(x-(-2)\big)(x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a(x+4)(x+2)(x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot [(x+4)(x+2)]\cdot (x-4)}$


Aplicando a distributiva nos fatores dos colchetes,

$\mathtt{f(x)=a\cdot [(x+4)\cdot x+(x+4)\cdot 2]\cdot (x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot (x^2+4x+2x+8)\cdot (x-4)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot (x^2+6x+8)\cdot (x-4)}$


Aplicando a distributiva novamente,

$\mathtt{f(x)=a\cdot [(x^2+6x+8)\cdot x-(x^2+6x+8)\cdot 4]}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot [x^3+6x^2+8x-4x^2-24x-32]}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot (x^3+6x^2-4x^2+8x-24x-32)}\\\\ \mathtt{f(x)=a\cdot (x^3+2x^2-16x-32)}$


sendo $\mathtt{a}$ uma constante a se determinar, usando as coordenadas do ponto P:

$\mathtt{f(0)=32}\\\\ \mathtt{a(0^3+2\cdot 0^2-16\cdot 0-32)=32}\\\\ \mathtt{a\cdot (-32)=32}\\\\ \mathtt{a=-1}$


Então, f é dada por

$\mathtt{f(x)=-1\cdot(x^3+2x^2-16x-32)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathtt{f(x)=-x^3-2x^2+16x+32}\end{array}}$


Dúvidas? Comente.


Bons estudos! :-)