Question

determine por fatoração o limite. lim( 3X²+3X-6)/(X²+2X-3),X tendendo pra 1

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para encontrar o limite (quando "x" tende a "1") da seguinte expressão:

lim (3x²+3x-6)/(x²+2x-3)
x--> 1

Veja: se formos substituir diretamente o "x" por "1", vamos encontrar algo como "0/0" e isso é uma indeterminação. Então deveremos levantar essa indeterminação.
Para isso, vamos encontrar as raízes de cada uma das equações dadas (a do numerador e a do denominador). A equação do numerador, que é:
3x² + 3x - 6 tem as seguintes raízes: x' = -2. e x'' = 1.
Por sua vez, a equação do denominador, que é:
x²+2x-3 tem as seguintes raízes: x' = -3 e x'' = 1.

A propósito, note que uma equação do 2º grau da forma ax²+bx+c = 0, com raízes iguais a x' e x'', a sua forma fatorada em função de suas raízes é dada assim:

ax² + bx + c = a*(x-x')*(x-x''). 

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então se formos simplificar as duas equações (a do numerador e a do denominador), em função de suas raízes, teríamos isto:

3x²+3x-6 = 3*(x-(-2))*(x-1) = 3*(x+2)*(x-1) <--- Esta é a equação do numerador após simplificada em função de suas raízes:

e

x²+2x - 3 = 1*(x-(-3))*(x-1) = (x+3)*(x-1) <--- Esta é a equação do denominador após simplificada em função de suas raízes.

Então vamos substituir a nossa expressão pelas duas equações já devidamente simplificadas em função de suas raízes. Assim:

lim [3*(x+2)*(x-1)]/[(x+3)*(x-1)]
x--> 1

Dividindo-se "x-1" do numerador com "x-1" do denominador, iremos ficar apenas com:

lim [3*(x+2)]/(x+3)
x--> 1

Veja: se, agora, substituirmos o "x" por "1" já não vamos mais ficar com nenhuma indeterminação para x = 1. Em outras palavras, quando fizemos a simplificação a indeterminação foi levantada para x = 1.
Assim, vamos substituir o "x" por "1" e teremos o limite pedido. Logo:


lim [3*(x+2)]/(x+3) = 3*(1+2)/(1+3) = 3*3/4 = 9/4 <--- Esta é a resposta.
x--> 1
 
É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.