Question

Qual é o menor e qual o maior número inteiro x que faz com que a expressão x2-5x-36 seja menor que zero?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Ilanhdjd, que a resolução é simples.

Pede-se o menor e o maior número INTEIRO que "x" assumirá que farão com que a expressão "x²-5x-36"o seja MENOR do que zero, ou seja, para que tenhamos isto:

x² - 5x - 36 < 0

Antes de iniciar, veja que uma equação do 2º grau da forma f(x) = ax² + bx + c, com raízes iguais a x' e x'' terá a seguinte variação de sinais:

i) f(x) terá o mesmo sinal do termo "a" (o termo "a" é o coeficiente de x²) para valores de "x" extrarraízes (fora das raízes). Ou seja: para x < x' ou x > x''.
ii) f(x) será igual a zero para valores de "x" iguais ás raízes, ou seja: para x = x' ou para x = x''.
iii) f(x) terá sinal contrário ao do termo "a" para valores de "x" intrarraízes (entre as raízes). Ou seja, para x' < x < x''.

Portanto, tendo as relações acima como parâmetro, então vamos estudar a variação de sinais da equação dada e depois, em função de suas raízes, vamos estudar a variação de seus sinais.

x² - 5x - 36 < 0 ------ raízes: x²-5x-36 = 0 ---> x' = -4 e x'' = 9.

Agora vamos à variação de sinais em função das raízes encontradas.

x² - 5x - 36 < 0 ....+ + + + + + + + (-4)- - - - - - - - - - - - (9)+ + + + + + + +

Veja que a variação de sinais seguiu o que fizemos ver nos itens "i", "ii" e "iii" acima. Note que o termo "a' é positivo. Por isso é que a função é positiva para valores extrarraízes (fora das raízes), é igual a zero para valores iguais às raízes, e é negativa para valores intrarraízes (entre as raízes).

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é: qual é o menor valor INTEIRO e o maior valor INTEIRO que fazem com que a expressão seja MENOR do que zero.
Note que o menor valor inteiro de "x" será o "-3", pois para x = -4 iremos ter que a função será igual a zero, pois "-4" é raiz. E o maior valor inteiro de "x"  será o "8", pois para x = 9 iremos ter que a função será também igual a zero, pois "9" também é raiz.
A propósito note que tanto o "-3" como o "8" estão entre as raízes, local em que a função é negativa (< 0).

Assim, o menor e o maior valor INTEIRO que "x" assumirá será, respectivamente:

x = -3,  e x = 8 <---- Esta é a resposta.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.