Question

O domínio da função $f(x,y)=\dfrac{\sqrt{y-1}}{\sqrt[3]{x+4}}$ pode ser representada pelo conjunto:

a) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ne -4\text{ e }y\ge 1\}$

b) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ \textgreater \ -4\text{ e }y\ge 1\}$

c) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ge -4\text{ e }y\ge 1\}$

d) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ \textgreater \ -4\text{ e }y\ \textgreater \ 1\}$

e) $D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ \textgreater \ -4\text{ e }y\ne 1\}$

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{A fun\c{c}\~ao dada \'e descrita pela lei}\\\\ f(x,\,y)=\dfrac{\sqrt{y-1}}{\sqrt[3]{x+4}}\\\\\\ \textsf{Restri\c{c}\~oes para o dom\'inio:}\\\\ \bullet~~~\textsf{Radicandos em \'indice par n\~ao podem ser negativos:}\\\\ \textsf{Temos uma raiz quadrada envolvida, ent\~ao devemos ter}\\\\ y-1\ge 0\\\\ y\ge 1\qquad\mathbf{(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \bullet~~~\textsf{O denominador n\~ao pode se anular:}\\\\ \textsf{No denominador temos uma raiz c\'ubica. Como o \'indice \'e}\\ \textsf{\'impar, n\~ao precisamos restringir o sinal do radicando. Basta}\\ \textsf{apenas que}\\\\ \sqrt[3]{x+4}\ne 0\\\\ x+4\ne 0\\\\ x\ne -4\qquad\mathbf{(ii)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{O dom\'inio \'e determinado pelas condi\c{c}\~oes }\mathbf{(i)}\textsf{ e }\mathbf{(ii):}\\\\ D=\{(x,\,y)\in\mathbb{R}^2~|~x\ne -4~\textsf{ e }~y\ge 1\}.\\\\\\ \textsf{Resposta: alternativa a).}\\\\\\ \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos!} \end{array}$