Question

Uma indústria modelou suas receitas mensais por meio da função R(x) = 85x2 – 80x, em que x é o número de unidades produzidas e vendidas num determinado exercício contábil (intervalo de tempo). Os custos, por sua vez, foram modelados pela função C(x) = 95x2 – 280x + 500. Como o lucro de uma empresa contabiliza a diferença entre receitas e custos auferidos, qual poderá ser o maior lucro possível para a indústria no exercício considerado?

Answer 1

Dados:
receita mensal = R(x) = 85x² - 80x
unidades vendidas = x
custo por unidade = C(x) = 95x² - 280x + 500
Lucro (L) = Receita - Custos

Logo:
L = 85x² - 80x - (95x² - 280x + 500)
L(x) = 85x² - 80x - 95x² + 280x - 500
L(x) = 85x² - 95x² - 80x + 280x - 500
L(x) = - 10x² + 200x - 500
perceba que o Lucro é uma função de segundo grau na variável x, onde
a = - 10  (parábola com concavidade voltada para baixo)
b = 200
c = - 500

Logo o Lucro terá seu valor máximo atingido quando for igual ao valor de y (vértice), valor esse que é obtido quando x vale x (vértice)

Lembrando que xv = - b/2a = - 200/(2.(-10)) =(-200)/(-20) =  10

Substituindo o valor de x = 10 em
L(x) = - 10x² + 200x - 500
L(20) = - 10.(10)² + 200.10 - 500
L(20) = - 10.100 + 2000 - 500
L(20) = - 1000 + 2000 - 500
L(20) = R$ 500,00       maior lucro obtido quando x = 10