Question

Encontre uma equac~ao do plano tangente a superfcie parametrizada S dada por
r(u; v) = v^2i - uv~j + u^2~k, 0 <= u<= 3, -3 <= v <= 3 no ponto (4;-2; 1).

Answer 1

Vamos primeiramente determinar o valor de "u" e "v"

Onde,

x = v²,      y = -uv    e     z = u²

Substituindo os pontos.

4 = v²

v² = 4

v +/- 2
------------------------

u² = 1

u = +/- 1
---------------------

mas pelas condições, "U" dever ser maior que zero.

Então, u = 1

-2 = -uv

2 = uv

uv = 2

1v = 2

v = 2
------------------

A normal da superfície é calculada no ponto "u e v" 

Como,


$n = \frac{dr}{du} X \frac{dr}{dv}$

Deveremos calcular as derivadas parciais primeiramente.

dr/du = d( v²i -uvj +u²k)/du

dr/du = 0i -vj +2uk

dr/du(1,2) = 0i -2j +2k
------------------------

Já dr/dv será:

dr/dv = d(v²i-uvj +u²k)/dv

dr/dv = 2vi -uj + 0k

dr/dv(1,2) = 4i -1j +0k
----------------------------------

Então, n será:

$\\ n = \frac{dr}{du} X \frac{dr}{dv} \\ \\ n = \left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\0&-2&2\\4&-1&0\end{array}\right] \\ \\ \\ n = 8j - ( -8k-2i) \\ \\ n = 2i +8j+8k$

Como sabemos,

O plano "π" pode ser calculado do seguinte modo.

π = n.PQ

Onde, PQ é um vetor que passa pelo ponto "P" (4,-2,1) e pelo ponto Q
 = (x,y,z)

Então,

PQ = Q-P

PQ = (x,y,z) - (4, -2, 1)

PQ = (x-4, y+2, z-1)

Então,

π:   (2, 8, 8).(x-4, y+2, z-1) = 0

π:  (2x-8)+(8y+16) + (8z-8) = 0

π:  2x +8y +8z-8+16-8 = 0

π:  2x +8y +8z = 0

Dividindo por 2"

π:  x+4y+ 4z  = 0