Question

Use o Teorema de Stokes para calcular
F.dr, onde F(x,y,z)=xyi + 2zj +3yk e C a curva de intersecção do plano x+z=5 com o cilindro x^2+y^2=9

Answer 1

Achando a parametrização da curva.

R(v,u) = vCos(u)i + vSen(u)j + (5-vCosu)k

x = vcosu
y = vsenu
z = 5-vcosu
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Com, 

0 ≤ u ≤ 2π

0 ≤ v ≤ 3
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Achando o rotacional de "F"

Rot(f) = ( dh/dy - dg/dz)i + ( df/dz - dh/dx)j + ( dg/dx - df/dy)k

Onde,

f = xy

g = 2z

h = 3y
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Então:

Rot(f) =  (3 - 2)i + ( 0 -  0)j + (0 - x)k

Rot(f) =  1i +0j - xk
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A integral de Stokes é:

∫∫ Rot(f).nds
σ

$n = \frac{ \frac{dR}{du} X \frac{dR}{dv} }{||\frac{dR}{du} X \frac{dR}{dv}||}$

Como,

$ds = ||\frac{dR}{du} X \frac{dR}{dv}||dvdu$

Nossa integral se reduz á:

∫∫ Rot(f).(dR/du X dR/dv)dvdu
σ

Achando dR/du e dR/dv

dR/du = (-vSenu)i +(vCosu)j + (vSenu)k

dR/dv = (Cosu)i + (Senu)j + (-Cosu)k
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Calculando o determinante:

dR/du X dR/dv = -vi + 0j -vk, sentido positivo = vi+0j+vk
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Mudando a componente x do rotacional:

Rot(f) = 1i +0j -xk

Rot(f) = 1i +0j - vCosuk

Então, o produto escalar de Rot(f).nds será:

(1, 0, -vCosu).(v, 0 , v) =

= v -v²Cosu
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Logo,

$= \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \int\limits^3_0 {(v-v^2Cosu)} \, dvdu$

$= \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, \frac{v^2}{2} - \frac{v^3Cosu}{3}|(0,3)du$

$\\ = \int\limits^ \frac{2 \pi }{} _0 {} \, (\frac{9}{2} - 9Cosu)du \\ \\ = \frac{9}{2} .u -9Senu |(0,2 \pi ) \\ \\ = \frac{9}{2} .2 \pi \\ \\ = 9 \pi$