Question

Uma certa doença pode ser curada através de procedimento cirúrgico em

80% dos casos. Dentre os que tem essa doença, sorteamos 15 pacientes que serão

submetidos à cirurgia. Fazendo alguma suposição adicional que julgar necessária,

responda qual é a probabilidade de:

a) Todos serem curados.

b) Pelo menos dois não serem curados.

c) Ao menos 10 ficarem livres da doença.

Answer 1

Olá,

Como existe, nesse caso, a probabilidade do paciente ser curado ou não, usamos a distribuição binomial. Essa distribuição é calculada da seguinte maneira:

$P(X=x) = \left(\begin{array}{c}n\\x\end{array}\right) p^{x}(1-p)^{n-x}$

sendo, n ensaios independentes dos quais x tem probabilidade de sucesso e n - x de falhas.

Suponha que os indivíduos que farão a cirurgia são (ou não) curados

independente uns dos outros (ou seja, os ensaios são independentes).

Além disso, a probabilidade de cura é constante igual a 80% = 0,80.

Assim, temos n = 15 e p = 0,8. Logo,

a)

$P(X=15) = \left(\begin{array}{c}15\\15\end{array}\right) 0,8^{15}(1-0,8)^{15-15}$

$P(X=15) = 1 . 0,8^{15}. 0,2^{0}$

$P(X=15) = 0,8^{15}$

$P(X=15) = 0,035$

Logo, a probabilidade de todos serem curados é 0,035, ou seja 3,5%.

b) Se pelo menos 2 não forem curados, temos que 13 podem ser curados. Assim,

$P (X\leq 13) = 1 - P(X \geq 14) =$

$P(X \leq 13) = 1 - [P (14) + P (15)]$

$P(X \leq 13) = 1-[ \left(\begin{array}{c}15\\14\end{array}\right) 0,8^{14}(1-0,8)^{1} + 0,035]$

$P(X \leq 13) = 1 - [ 15. 0,8^{14} . 0,2 + 0,035]$

$P(X \leq 13) = 1 - [0,1319 + 0,035]$

$P(X \leq 13) = 1 - 0,1669$

$P(X \leq 13) = 0,8333$

Logo, a probabilidade de pelo menos 2 não serem curados é 0,8333, ou seja 83,3%.

c) Se ao menos 10 ficarem livres da doença, X ≥ 10. Assim,

$P(X\geq 10) = P(10) + P(11) + P(12) + P(13) + P(14) + P(15)$

$P(X\geq 10) = 3003. 0,8^{10}.0,2^{5} + 1365 . 0,8^{11} . 0,2^{4} + 455 . 0,8^{12} . 0,2^{3} + 105.0,8^{13}.0,2^{2} + 15. 0,8^{14}.0,2 + 0,8^{15}$

$P(X\geq 10) = 0,10318229 + 0,18760417 + 0,250133889 + 0,230897441 + 0,131941395 + 0,035184372$

$P(X\geq 10) = 0,9389$ 

Logo, a probabilidade de ao menos 10 ficarem livres da doença é 0,9389 = 93,89%.

Espero ter ajudado. Abraços =D