Question

Qual valor de k para que o sistema abaixo seja possivel indeterminado? {x-3y=2{k.x-33y=22

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se o valor de "k" para que o sistema abaixo seja POSSÍVEL e INDETERMINADO (SPI):

{x - 3y = 2            . (I) 
{kx - 33y = 22      . (II)

Veja que faremos o seguinte: multiplicaremos a expressão (I) por "-11" e, em seguida, somaremos, membro a membro, com a expressão (II). Assim:

-11x + 33y = - 22 ---- [esta é a expressão (I) multiplicada por "-11"]
...kx - 33y = 22 ------- [esta é a expressão (II) normal]
-------------------------- somando membro a membro, teremos:
-11x+kx + 0 = 0  --- ou apenas:
-11x + kx = 0 ---- vamos pôr "k" em evidência, ficando:
x*(-11+k) = 0 ----- note que aqui temos o produto entre dois fatores cujo resultado é nulo. Quando isso ocorre, um dos fatores é nulo. Então teremos as seguintes possibilidades:

ou
x = 0

ou 
-11 + k = 0 ---> k = 11 <--- Esta é a resposta. Este deverá ser o valor de "k" para que o sistema seja POSSÍVEL e INDETERMINADO.

Bem, já encontramos o valor de "k" para que o sistema seja POSSÍVEL e INDETERMINADO.
Agora note como sabemos que um sistema é possível e indeterminado.
Por exemplo: digamos que você tenha:

x + y = 10 ----- para encontrarmos uma outra equação, basta que multipliquemos a fração inicial por um número qualquer. Vamos multiplicar por "2", por exemplo, e teremos:

2x + 2y = 20 ----- Assim, como você vê, o sistema é possível e indeterminado, pois ficamos com o seguinte sistema:

x + y = 10
2x + 2y = 20

Note: se você multiplicar a primeira expressão (x+y = 10) por "-2" iremos encontrar algo como 0 = 0 (o que é verdade). Mas quando isso ocorre é porque o sistema é possível e indeterminado). Veja o que ocorre quando multiplicamos a primeira expressão por "-2" e em seguida,somamos com a segunda expressão:

-2x - 2y = - 20 ---- [esta é a 1ª expressão multiplicada por "-2"]
2x + 2y = 20 ------ [esta é a 2ª expressão normal]
------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 0 = 0
0 = 0 <--- Veja: quando isso ocorre é porque o sistema é possível e indeterminado.

No caso da sua questão, como encontramos que k = 11, então teríamos o seguinte sistema:

x - 3y = 2
11x - 33y = 22 ---- note que o que se fez foi multiplicar a primeira expressão por "11" e resultou na segunda expressão.
Veja o que ocorre quando multiplicarmos a primeira expressão "-11" e em seguida somaremos com a segunda expressão, membro a membro. Veja:

-11x + 33y = - 22 --- [esta é a 1ª expressão multiplicada por "-11"]
..11x - 33y = 22 ----- [esta é a 2ª expressão normal]
---------------------------- somando membro a membro, teremos:
0 + 0 = 0 --- ou apenas:
0 = 0 <--- Veja aí o porquê de o sistema da sua questão ser possível e indeterminado.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.