Question

Na equação do 2° grau, ax2-3x+c=0, o produto das raízes é -2/5, e a soma de todos os seus coeficientes é zero. A soma dos quadrados das raízes dessa equação é:
a) 4/25
b) 21/25
c) 29/25
d) 31/25

Answer 1

$\text{O produto das ra\'izes de uma equa\c{c}\~ao do segundo grau}\\\text{pode ser obtido atrav\'es da seguinte raz\~ao:}\\\\\text{Produto das ra\'izes}=\dfrac{c}{a}\\\\\text{Observe que o comando da quest\~ao nos fornece tais dados:}\\\\\dfrac{c}{a} =\dfrac{\hspace{-7}-2}{5}}\\\\\\\text{Portanto:}~~ax^2-3x+c~~\Rightarrow~~5x^2-3x+(-2)~~\Rightarrow~~5x^2-3x-2\\\\\text{Note que realmente, a soma dos coeficientes \'e igual a zero.}$

$\text{Agora temos que descobrir as ra\'izes dessa fun\c{c}\~ao~(com Bhaskara):}\\\\\\ \dfrac{-b\pm\sqrt{\Delta} }{2a}~~~~\text{onde}~~~~\Delta=b^2-4ac$


$\Delta=(-3)^2-4\cdot 5\cdot (-2)\\\\\Delta=9-(-40)\\\\\Delta=9+40\\\\\Delta=49\\\\\\ \dfrac{-(-3)\pm\sqrt{49}}{2\cdot 5}\\\\\\ \dfrac{3\pm7}{10}\\\\\\\dfrac{3+7}{10}~~\Rightarrow~~\dfrac{10}{10}=1~~~~~\text{(essa \'e a ra\'iz 1)}\\\\\\\dfrac{3-7}{10}~~\Rightarrow~~\dfrac{\hspace{-7}-4}{10}=\dfrac{\hspace{-7}-2}{5}~~~~~\text{(essa \'e a raiz 2)}$


$\text{Descobrindo a soma dos quadrados das ra\'izes:}\\\\\\ 1^2+\left ( \dfrac{-2}{5} \right)^2\\\\\\=1+\left(\dfrac{(-2)^2}{5^2}\right)\\\\\\=1+\dfrac{4}{25}~~~~\text{(reduzindo ao mesmo denominador...)}\\\\\\ =\dfrac{25}{25}+ \dfrac{4}{25}\\\\\\= \dfrac{29}{25}\\\\\\\text{Resposta letra C}$