Question

log(4x-1)-log(x+2)=logx

Alguém poderia, por favor, resolver essa e me dizer qual foi a propriedade?

Answer 1

Ae mano,

dada a equação logarítmica $\large\boxed{\log(4x-1)-\log(x+2)=\log(x)}$

a incógnita encontra-se no logaritmando, impomos as condição para que os logs acima, existam:

$\text{C.E.}\begin{cases}4x-1>0~~e~~x+2>0\\4x>1~~~~~~~~~x>-2\\x>1/4\end{cases}$

Podemos reduzir a equação a um único logaritmo, aplicando a p2 (logaritmo do quociente)

$\log_b(a)-\log_b(c)=\log_b\left( \dfrac{a}{c}\right)$ 

ela então ficará assim:

$\log\left( \dfrac{4x-1}{x+2}\right)=\log(x)$ 

Eliminando as bases, podemos fazer:

$\dfrac{4x-1}{x+2}=x\\\\x\cdot(x+2)=4x-1\\x^2+2x=4x-1\\x^2-2x+1=0\\\\x_1=x_2=1$ 

Veja que x=1 satisfaz à condição de existência, portanto:

$\Large\boxed{\text{S}=\{1\}}$