Question

existe um numero real x, com modulo de x<1, tal que x+x²+x³+...xn+...=1

Answer 1

$x+x^2+x^3+...+x^n =1$

→ Primeiro perceba que os termos formam uma P.G. de razão q , que pode ser determinada por :

$q = \frac{a_{2} }{a_{1}}$
$q = \frac{x^2}{x}$
$q = x$

→ Como são muitos termos ( algo que poderia ser considerado infinito ) então trataria-se de uma P.G. infinita na qual a razão deve estar 0 < x < 1
→ Então pela soma de infinitos termos de uma P.G. temos que :

$S_{n}= \frac{a_{1}}{1-q}$
$1 = \frac{x}{1-x}$
$1-x = x$
$x = \frac{1}{2}$

→ Então o termo x < 1 que satisfaria essa condição é $\frac{1}{2}$