Question

Questão Seja C a circunferência centrada no ponto (4, −1) que passa pelo foco da
parábola P : x
2 + 16y = 0.
(a) Dermine a equação da circunferência C.
(b) Mostre que a circunferência C é tangente à diretriz da parábola P.

Answer 1

Parábola p: x² + 16y = 0
A equação geral da parábola é  (x - x°)² = 4p(y - y°)² com Foco F(0,p).
Sendo x°=0 e y°=0 ⇒ x² = -16y  ⇒ 4p = -16 ⇒ p = -16/4 ⇒ p = -4
Logo F(0, -4), então a circunferência passa por F e tem Centro C(4, -1)
a) A equação geral da circunferência é c: (x - x°)² + (y - y°)² = R² , sendo C(x°, y°)
e c passa por F(0,-4)
Então c: será: (0 - 4)² + (- 4 + 1)² = R² ⇒ 16 + 9 = R² ⇒ R² = 25 ⇒ R = 5
logo a equação de c: (x - 4)² + (y + 1)² = 25.

b) A equação da diretriz é y = 4 ou y - 4 = 0.
Para c ser tangente a reta y=4, a distancia do centro de c a reta tem que ser igual ao raio da mesma, então vamos calcular a distancia de c a reta y=4.
Dc a reta = |ax° + by° + c| /√a² + b² ; onde a=0, b = 1 e c= -4 ; x° =4 e y°= - 1
D=|0.4 + 1.(-1) - 4|/√0 + 1² = |-1 - 4|/√1 = | - 5|/1 = 5
D=5 que é igual a distancia do Raio, logo a circunferência é tangente a diretriz.