Question

Esboce o gráfico correspondente a cada uma das funções y= -x2+4x

Answer 1

Observe a imagem em anexo com o esboço do gráfico.

Uma breve explicação:

Sendo uma função do segundo grau, o gráfico é uma parábola e possui a seguinte lei de formação:
y = ax + bx + c.

Assim, na função dada y = -x² + 4x, temos:
a = -1; b = 4; c = 0

Para construir o gráfico, precisamos das seguintes informações:

1) Saber se a concavidade da parábola é para cima (se a > 0) ou para baixo (se a < 0):
Como na função dada, a = -1, portanto a < 0, então a concavidade é para baixo.

2) O ponto onde a curva toca o eixo y:
Para isso calculamos o valor de y quando x = 0:
y = -0² + 4(0) --> Logo y = 0
Portanto, a curva tocará o eixo y no ponto 0, que é a origem do plano cartesiano.

Obs1.: O ponto onde a curva toca o eixo y é justamente o valor do coeficiente c, que nessa função é igual a 0 (Se o valor de c fosse 5, por exemplo, então a curva tocaria y no ponto 5).

Obs2: Já concluímos que uma das raízes da função tem que ser igual 0)

3) As raízes da função, ou seja, os pontos onde a curva tocará o eixo x:
Para isto, calculamos os valores de x quando y = 0:
0 = -x² + 4x
Como é uma função incompleta, pois c = 0, colocamos x em evidência:
x(-x + 4) = 0
x1 --> x = 0
x2 -->  -x + 4 = 0 --> -x = -4 --> x = 4

4) Calcular as coordenadas do vértice da parábola, o ponto (Xv,Yv):

- Xv --> Como as raízes são x=0 e x=4, o coordenada x do vértice é a metade do segmento que vai de 0 a 4, nesse caso o Xv = (0+4)/2 = 2.
-Yv --> É o valor de y para o Xv, ou seja, quando x = 2:
y = -2² + 4(2) --> y = -4 + 8 --> y = 4

Assim, o vértice da parábola é o ponto (2,4).

Obs.: Pode-se também calcular o vértice da parábola usando as fórmulas:

Xv = -b/2a --> Xv = -4/2(-1) --> Xv = -4/-2 = 2

Yv = -Δ/4a -->Yv = - (b² -4·a·c)/4a --> Yv = - (4² - 4(-1)(0))/4·(-1) -->
Yv = -16/-4 = 4


Espero que tenha compreendido.