Question

as sequências ( x, 3, y ) e ( y, raiz quadrada de 5, x ) são, respectivamente, progressões aritmética e geométrica. Se a progressão aritmética é crescente, a razão da progressão geométrica é???

Answer 1

Seja a PA (x, 3, y):
y-3 = 3-x   ⇒  y = 6 - x

Seja a PG (y, √5, x):
x/√5 = √5/y  ⇒ xy = 5

Substituindo o valor de y em xy:
xy = 5  ⇒ x(6-x)=5 ⇒ 6x - x² = 5  ⇒ -x² +6x -5 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau, teremos:

$x=\dfrac{-6\pm\sqrt{6^{2}-4\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-5\right)}}{2\cdot \left(-1\right)}\Rightarrow x=\dfrac{-6\pm\sqrt{36-20}}{-2}\Rightarrow\\ \\ \\x=\dfrac{-6\pm 4}{-2}\Rightarrow x_{1}=\dfrac{-6+4}{-2}=1\Rightarrow x_{2}=\dfrac{-6-4}{-2}=5$


Para x = 1 temos:
y = 6 - x  ⇒  y = 6 -1 = 5

PA (1,3,5)
PG (5,√5,1)

Para x = 5 temos:
y = 6 - x  ⇒  y = 6 - 5 = 1

PA (5,3,1)
PG (1,√5,5)

Apesar de ambos os valores de x formarem uma PA e PG, o único que satisfaz é x = 1, pois o enunciado afirma que a PA é crescente, mas para x = 5 temos uma PA decrescente.

Portanto, a razão da PG, para x = 1 é:
PG (5,√5,1)

$\dfrac{1}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{5}}\cdot \dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$