Question

determine no universo do IR o conjunto de solução da equação a sequir : log x (3x) + log x ( x -2) = log x (x +6)?

Answer 1

Considerando os logaritmos com base x.

1) Considerando a propriedade logaritmo do produto:
Ex.: $log_x\left(a\cdot b\right)=log_x a+log_xb$

Assim:
$log_x(3x)+log_x(x-2) = log_x(3x)(x-2)$

2) Observe que:
$log_x(a)=log_x(b)\Leftrightarrow a=b$

Assim:
$log_x(3x)(x-2)=log_x(x+6)\Leftrightarrow (3x)(x-2)=(x+6)\Rightarrow\\ \\ 3x^{2}-6x=x+6\Rightarrow 3x^{2}-7x-6=0$

Resolvendo a equação do segundo grau:
$3x^{2}-7x-6=0\\ \\ x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}\Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\cdot 3\cdot \left(-6\right)}}{2\cdot 3}\Rightarrow \\ \\ \\ x=\dfrac{7\pm\sqrt{49+72}}{6}\Rightarrow x=\dfrac{7\pm\sqrt{121}}{6}\Rightarrow x=\dfrac{7\pm 11}{6}\Rightarrow\\ \\ \\ x_{1}=\dfrac{7+11}{6}\Rightarrow x_{1}=3\\ \\ \\ x_{2}=\dfrac{7-11}{6}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{4}{6}\Rightarrow x_{2}=-\dfrac{2}{3}$


Como a base do logaritmo deve ser maior que 0, então descarta-se x2, obtendo como solução: S = {3}.