Question

os três primeiros temas da seguinte (2,x,y,30) estão em geométrica crescente e os três últimos em progressão aritmética crescente o valor quociente de y por x e:

Answer 1

Como os três primeiros estão em PG, então:

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{x}{2}\Rightarrow x^{2}=2y$


Como os três últimos estão em PA, então:
$30-y=y-x\Rightarrow 2y-x-30=0$

Substituindo 2y por x²:

$2y-x-30=0\Rightarrow x^{2}-x-30=0\Rightarrow\\ \\ \\x=\dfrac{1\pm\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\cdot 1\cdot \left(-30\right)}}{2\cdot 1}\Rightarrow x=\dfrac{1\pm\sqrt{1+120}}{2}\Rightarrow\\ \\ \\x_{1}=\dfrac{1+11}{2}=6\\ \\ \\x_{2}=\dfrac{1-11}{2}=-5$

Para x = 6:

$2y=x^{2}\Rightarrow 2y=6^{2}\Rightarrow 2y=36\Rightarrow y=18$

A sequência fica (2,6,18,30) e o quociente de y por x é:
y/x = 18/6 = 3


Para x = -5

$2y=x^{2}\Rightarrow 2y=\left(-5\right)^{2}\Rightarrow 2y=25\Rightarrow y= \dfrac{25}{2}$


A sequência fica (2,-5,25/2,30) e o quociente de y por x é:

$\dfrac{y}{x}=\dfrac{\dfrac{25}{2}}{-5}\Rightarrow \dfrac{25}{2}\cdot \dfrac{1}{-5}=\dfrac{-5}{2}$


Podemos verificar que ambos os valores satisfazem o enunciado:

Para a sequência (2,6,18,30):
Razão da PG= 18/6 = 6/2 = 3
Razão da PA = 30-18 = 18-6 = 12


Para a sequência (2,-5,25/2,30):

Razão da PG= $\dfrac{\dfrac{25}{2}}{-5}=\dfrac{-5}{2}=\dfrac{-5}{2}$


Razão da PA = $30-\dfrac{25}{2}=\dfrac{25}{2}-\left(-5\right)=17,5$