Question

me ajudem a resolver esta inequação logarítmica. A solução é 0,5≤x≤1 ou x≥8
$log _{2}x-log _{x}8-2 \geq 0$

Answer 1

Olá Dany,

dada a inequação logarítmica,

$log_2x-log_x8-2 \geq 0$

vamos impor a condição de existência:

$\begin{cases}base~\to~1 \neq x>0\\ logaritmando~\to~x>0\end{cases}$

Sabendo-se que a inequação encontra-se na base 2 e na base x, temos que deixa-las na mesma base, (usaremos a propriedade de mudança de base), optaremos pela base 2:

$log_cb~\to~ \dfrac{logb}{logc}$

_____________________________

$log_2x- \dfrac{log_28}{log_2x}-2 \geq 0\\\\ usando~a~preliminar~de~logaritmos,~log_28=3,~temos~que:\\\\ log_2x- \dfrac{3}{log_2x}-2 \geq 0\\\\ Usando~uma~variavel~auxiliar,~fazendo~log_2x=k:\\\\ k- \dfrac{3}{k}-2 \geq 0\\\\ (k*k)-3-2*k \geq 0\\\\ k^2-2k-3 \geq 0~\to~inequacao~do~2o~grau\\\\ raizes~\to~k'=3~~e~~k''=-1$


$Retomando~a~variavel~original,~log_2x=k:\\\\ para~k=3:~~~~~~~~~~para~k=-1\\ log_2x=3~~~~~~~~~~~~~~log_2x=-1\\ x=2^3~~~~~~~~~~~~~~~~~~x=2^{-1} \\\\ x=8~~~~~~~~~~~~~~~~~~~x= \dfrac{1}{2}=0,5$

Como a condição para a base diz que x deve ser > 0 e ≠ 1, e o logaritmando x > 0, podemos seguir o sinal da desigualdade, portanto a solução da inequação será:

$\boxed{S=\{x\in R~|~0,5 \leq x \neq 1~e~x \geq 8\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))