Question

A massa de materiais radioativos, tais como o rádio, urânio ou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar a taxa de decaimento da massa é utilizando o conceito de meia-vida desses materiais.A meia-vida de um material radioativo é definida como o tempo necessário para que sua massa seja reduzida à metade.Denotando por M0 a massa inicial ( correpondente ao instante t = 0) e por M a massa presente num instante qualquer t, podemos estimar M pela função exponencial dada porM = M0 e-Ktsendo K > 0A equação é conhecida como modelo de decaimento exponencial. A constante K depende do material radioativo considerado e está relacionada com a meia-vida dele. Sabendo que a meia-vida do carbono-14 é de aproximadamente 5730 anos, determinar:(a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material;(b) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presença do carbono-14 neste é 80% da quantidade original.

Answer 1

M=Mo.e^(-kt)

para t= 5730 a massa cairá a metade

Mo/2=Mo.e^(-kt)

e^(-k.5730)=1/2

k.5730=Loge2

k=Ln2/5730


b) M=0,8Mo
M=Mo.e^(-kt)
0,8Mo=Mo.e^(-kt)

0,8= e^(-kt)
-kt=ln0,8

como k=ln2/5730

-t.ln2/5730=ln0,8
T=5730x(-ln0,8)/ln2
T=5730x(-ln0,8)/ln2
T=1844 anos

Answer 2

a) 

M = Mo.e^(-Kt)

e^(-Kt) = M/Mo

e^(-Kt) = 1/2

e^(-K5730) = 1/2

ln e^(-K5730) = ln (1/2)

-K5730.ln e = ln (1/2)

-K5730 = -0,6931

K = 0,6931/5730

K ≈ 1,21.10^-4

b)

M = 0,8Mo

M = Mo.e^(-Kt)

0,8Mo = Mo.e^(-Kt)

0,8 = e^(-1,21.10^4.t)

ln e^(-1,21.10^-4.t) = ln (0,8)

(-1,21.10^-4.t).ln e = ln (0,8)

-1,21.10^-4.t = -0,2231

 t = 0,2231/1,21.10^-4

t = 0,2231/0,000121

t = 1843,80 anos

Espero ter ajudado.