Question

Quanto que é a derivada da função y= sen 2 x .e^x ?

Answer 1

Regra do produto e da cadeia:
$\displaystyle f(x)=\sin(2x)\cdot e^{x}\ |\ u(v)=\sin(v)\ \ |\ v(x)=2x\ \ w(x)=e^x \\(f\circ w\circ u \circ v)(x)=v(u) \cdot w\\ \\\frac{df}{dx}=u'\cdot w+w'\cdot u\ pela~regra~do~produto,~mas~pela~regra~da~\\cadeia:\\\\ \frac{du}{dx}=\frac{du}{dv}\cdot \frac{dv}{dx}=u'\ \ \ \ logo:$
$\displaystyle \frac{df}{dx}=\left(\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx}\right)+\frac{dw}{dx}\cdot u=\left(\frac{d}{dv}\sin(v)\cdot\frac{d}{dx}2x\right)\cdot e^x+\frac{d}{dx}e^x\cdot\sin(v)\\\\\frac{d}{dx}\sin(2x)\cdot e^x=\left(\cos(v)\cdot2\right)\cdot e^x+e^x\cdot \sin(v)\implies v(x)=2x\implies\\\\\frac{df}{dx}=2e^x\cos(2x)+e^x\sin(2x)=\boxed{e^x\left(2\cos(2x)+\sin(2x)\right)}$