Question

Num círculo, inscreva-se um quadrado de lado 7 cm. Sobre cada lado do quadrado, considera-se a semicircunfêrencia exterior ao quadrado com centro no ponto médio do lado e raio 3,5 cm, como na figura a seguir. Calcule a área da região hachurada.

Answer 1

Olá,

Para calcular a área da região hachurada é necessário

1) Calcular a área do círculo;

2) Calcular a área do quadrado;

3) Subtrair a área do quadrado do círculo para obter a área da região assinalada em vermelho na imagem;

4) Calcular a área dos semicírculos;

5) Subtrair o valor obtido no passo 3 da área dos semicírculos.

Vamos começar:

1) A área A de um círculo é dada por:

$A=\pi r^{2}$

sendo

r --> raio da circunferência

Desse modo, precisamos do valor do raio desse círculo.

Note que o diâmetro d desse círculo corresponde ao valor da diagonal do quadrado de lado 7 cm inscrito no mesmo.

Para calcular essa diagonal utilizamos o teorema de Pitágoras:

$d^{2}=7^{2}+7^{2}$

$d=7\sqrt{2}$

Como o raio r do círculo é dado pela metade do diâmetro d, tem-se que

$r=\frac{7\sqrt{2}}{2}$ cm

Assim, a área do círculo é

$A=\pi (\frac{7\sqrt{2}}{2})^{2}$

$A=\pi \frac{49}{2} cm^{2}$

2) A área do quadrado é pelo produto dos seus lados, ou seja, 7 · 7 = 49 cm².

3) Subtraindo a área do quadrado (49 cm²) da área do círculo ($\pi \frac{49}{2} cm^{2}$), segue que a área vermelha é

$\pi \frac{49}{2} - 49 =$

$\frac{49\pi -98}{2} cm^{2}$

4) Calculando a área dos semicírculos de raio igual a 3,5 cm, vem que a área de 1 semicírculo é

$A_{sc}=\frac{\pi 3,5^{2}}{2}$

$A_{sc}=\frac{12,25\pi}{2} cm^{2}$

A área dos quatro semicírculos é

$4A_{sc}=4\frac{12,25\pi}{2} =$

$4A_{sc}=\frac{49\pi}{2}$

5) Subtraindo o valor obtido no passo 3 da área dos semicírculos obtidas em 4, segue

$\frac{49\pi}{2} - \frac{49\pi -98}{2}=$

$\frac{49\pi -49\pi +98 }{2} =$

$\frac{98 }{2} =$

49

Logo, a área da região hachurada é 49 cm².

Answer 2

Resposta:

segue a resposta na imagem