Question

com 140 metros lineares de tela de arame um fazendeiro construiu dois currais : um quadrado e um retangular , este de comprimento igual ao triplo de largura . sabendo que a medida escolhida para o lado do quadrado tornou a soma das areas dos currais a menor possivel , calcule a area de cada curral

Answer 1

$\large\begin{array}{l} \textsf{Tem-se 140 metros de tela de arame dispon\'iveis para cercar}\\\textsf{dois currais: um quadrado e outro retangular.}\\\\\\ \textsf{Suponhamos que}\\\\\bullet~~\textsf{L seja a medida do lado do curral quadrado,}\\\\ \bullet~~\textsf{x e 3x sejam respectivamente a largura e o comprimento}\\\textsf{do curral retangular.} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{De acordo com o problema proposto, deseja-se cercar os}\\\textsf{dois currais usando todos os 140 metros de tela.}\\\\\textsf{Sendo assim, devemos ter}\\\\ \mathsf{p_{quadrado}+p_{retangular}=140~m}\\\\ \mathsf{4L+2\cdot (3x+x)=140}\\\\ \mathsf{4L+2\cdot 4x=140}\\\\ \mathsf{4L+8x=140}\\\\ \mathsf{\diagup\!\!\!\! 4\cdot (L+2x)=\diagup\!\!\!\! 4\cdot 35} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{L+2x=35}\\\\ \mathsf{2x=35-L}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{35-L}{2}\qquad(i)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Queremos tamb\'em que a medida escolhida para o lado L do}\\\textsf{quadrado seja aquela que torne a soma das \'areas dos dois}\\\textsf{currais a menor poss\'ivel.}\\\\ \textsf{A fun\c{c}\~ao que fornece a \'area dos dois currais \'e dada por}\\\\ \mathsf{A=A_{quadrado}+A_{retangular}}\\\\ \mathsf{A=L^2+x\cdot 3x}\\\\ \mathsf{A=L^2+3x^2}\\\\ \mathsf{A=L^2+3\cdot \left(\dfrac{35-L}{2}\right)^{\!\!2}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{A=L^2+3\cdot \dfrac{(35-L)^2}{4}}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{4L^2+3\cdot (35-L)^2}{4}}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{4L^2+3\cdot (35^2-70L+L^2)}{4}}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{4L^2+3\cdot (1\,225-70L+L^2)}{4}}\\\\ \mathsf{A=\dfrac{4L^2+3\,675-210L+3L^2}{4}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \mathsf{A=\dfrac{1}{4}\cdot (7L^2-210L+3\,675)\qquad(ii)}\\\\ \textsf{(a soma das \'areas dos dois currais em fun\c{c}\~ao do lado}\\\textsf{do quadrado)} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{Deseja-se obter o valor de L que minimize esta fun\c{c}\~ao:}\\\\ \mathsf{f(L)=7L^2-210L+3\,675}\quad\Rightarrow\quad\left\{\! \begin{array}{l}\mathsf{a=7}\\\mathsf{b=-210}\\\mathsf{c=3\,675} \end{array} \right. \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{O valor de L procurado \'e}\\\\ \mathsf{L=-\,\dfrac{b}{2a}}\\\\ \mathsf{L=-\,\dfrac{(-210)}{2\cdot 7}}\\\\ \mathsf{L=\dfrac{210}{14}}\\\\ \boxed{\begin{array}{c}\mathsf{L=15~m} \end{array}}\quad\longleftarrow\quad\begin{array}{l} \textsf{medida do lado do quadrado}\\\textsf{que minimiza a soma das \'areas}\\\textsf{dos currais.} \end{array} \end{array}$


$\large\begin{array}{l} \textsf{A largura x do terreno retangular neste caso ser\'a}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{35-15}{2}}\\\\ \mathsf{x=\dfrac{20}{2}}\\\\ \mathsf{x=10~m}\\\\\\ \textsf{e o comprimento \'e o triplo da largura:}\\\\ \mathsf{3x=3\cdot 10=30~m.} \end{array}$

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$\large\begin{array}{l} \textsf{Obtendo a \'area de cada curral:}\\\\ \bullet~~\textsf{\'Area do curral quadrado:}\\\\ \mathsf{A_{quadrado}=L^2}\\\\ \mathsf{=15^2}\\\\ \mathsf{=225~m^2\qquad\checkmark}\\\\\\ \bullet~~\textsf{\'Area do curral retangular:}\\\\ \mathsf{A_{retangular}=x\cdot 3x}\\\\ \mathsf{=10\cdot 30}\\\\ \mathsf{=300~m^2\qquad\checkmark} \end{array}$


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$\large\begin{array}{l} \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$


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