Question

Um poliedro convexo fechado tem faces triangulares, quadrangulares e hexagonais. Determine o n° de faces hexagonais, sabendo-se que esse poliedro tem 25 arestas e 14 vértices, e que o n° de faces quadrangulares é o dobro do n° de faces triangulares.

Answer 1

Questão onde precisa-se saber a relação de Euler e resolver sistemas de equações.

i) Vamos, inicialmente, chamar de $T, \ Q$ e $H$ o número de faces triangulares, quadrangulares e hexagonais desse poliedro, respectivamente; também usemos a notação usual para o número de faces, arestas e vértices ($F, \ A$ e $V$, respectivamente). A partir do que foi dito na questão temos que

$Q=2T$

e pela relação de Euler temos o seguinte:

$F+V=A+2\\ F+14=25+2\\ F=27-14\\ F=13$

Ao contarmos todas as faces triangulares, quadrangulares e hexagonais teremos contado todas as faces. Isso quer dizer que

$F=T+Q+H \Rightarrow 13=T+2T+H\\ \\ \boxed{3T+H=13}$

ii) Um triângulo tem 3 lados, nenhuma novidade, um quadrilátero possui 4 lados e um hexágono, 6. Contando todos os lados de todas as faces do poliedro encontramos $3T+4Q+6H$, então é de se esperar que essa expressão seja igual ao número de arestas do poliedro. Porém, como uma aresta é comum a duas faces, temos que aquela expressão vale, na verdade, $2A$. Trocando em miúdos e fazendo a substituição ($Q=2T$) teremos:

$3T+4.2T+6H=2A\\ 3T+8T+6H=2.25\\ \\ \boxed{11T+6H=50}$

iii) Agora temos o seguinte sistema de equações:

$\left\{\begin{array}{l}3T+H=13\\ \\ 11T+6H=50\end{array}\right.$

Como queremos encontrar apenas o valor de $H$ é melhor que multipliquemos a primeira equação por -11 e a segunda por 3. O sistema fica, então:

$\left\{\begin{array}{l}3T+H=13\\ \\ 11T+6H=50\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}-33T-11H=-143\\ \\ 33T+18H=150\end{array}\right.$

Somando as duas equações encontramos

$7H=7\\ \\ \boxed{\boxed{H=1}}$

Portanto o poliedro possui apenas uma face hexagonal.