Question

Três cidades A, B e C estão localizadas, respectivamente, nos quilômetros 180, 240 e 360 de uma mesma rodovia. Dois veículos partem simultaneamente de A e B em direção à C; o veículo que pate da A faz o trajeto AC com velocidade média Va e o que parte de B faz o trajeto de BC com velocidade média de 80kmh.

Calcule o valor de Va para que ambos cheguem em C ao mesmo tempo.

Sabendo-se que a velocidade máxima permitida nessa rodovia é de 110km/h e que em um trecho de 33km há radares, qual deve ser a menor velocidade média do móvel que parte de A, no restante do trajeto, para que ele consiga chegar junto com o outro veículo e não leve multa?

Answer 1

$\textsf{Fun\c{c}\~ao hor\'aria da posi\c{c}\~ao no movimento uniforme:}\\\\\\\fbox{ \mathsf{S=S_0+vt} }\\\\\\\textsf{Primeira etapa: calcular o tempo que o ve\'iculo que parte de B leva p\underline{a}}\\\textsf{ra chegar at\'e C.}\\\\\textsf{Tendo em vista que ele segue o trajeto com velocidade constante igual}\\\textsf{a 80 km/h n\'os teremos o seguinte:}\\\\\\\mathsf{360=240+80t}\\\\\\\mathsf{120=80t}\\\\\\\mathsf{t= \dfrac{120}{80}}\\\\\\\mathsf{t=1.5~hora}$


$\textsf{O ve\'iculo que parte de A tem que chegar a C ao mesmo tempo que}\\\textsf{o ve\'iculo que partiu de B, ou seja, percorrem dist\^ancias diferentes}\\\textsf{em tempos iguais.}$


$\textsf{\underline{Desconsiderando os radares} temos o seguinte:}\\\\\\\mathsf{360=180+v1.5}\\\\\\\mathsf{180=v1.5}\\\\\\\mathsf{v=\dfrac{180}{1.5}}\\\\\\\mathsf{v=120~km/h}\\\\\\\textsf{Essa \'e a velocidade m\'edia necess\'aria ao ve\'iculo que parte de A, para}\\\textsf{que ele chegue a C ao mesmo tempo que o ve\'iculo que partiu de B.}\\\\\\\textsf{\underline{Considerando os radares:}}$

$\textsf{Note que durante o trajeto que possui radares a velocidade n\~ao pod\underline{e}}\\\textsf{r\'a passar de 110 km/h. N\'os teremos que descobrir o tempo que o c\underline{a}}\\\textsf{rro que parte de A leva para percorrer os 33km de trajeto fiscalizado,}\\\textsf{irei fixar a velocidade no limite permitido.}$


$\mathsf{180+33=180+110t}\\\\\\\mathsf{213=180+110t}\\\\\\\mathsf{33=110t}\\\\\\\mathsf{t=\dfrac{33}{110}}\\\\\\\mathsf{t=0.3~hora}$


$\textsf{Subtraindo 0.3 hora (tempo gasto no trajeto fiscalizado) de 1.5 (te\underline{m}}\\\textsf{po total a ser gasto durante o percurso completo) e 33km (dist\^ancia}\\\textsf{percorrida no trajeto fiscalizado) de 360km (dist\^ancia a C) teremos}\\\textsf{a seguinte fun\c{c}\~ao:}$


$\mathsf{360-33=180+v\cdot (1.5-0.3)}\\\\\\\mathsf{327=180+v\cdot1.2}\\\\\\\mathsf{147=1.2v}\\\\\\\mathsf{v=\dfrac{147}{1.2}}\\\\\\\fbox{ \mathsf{v=122.5~km/h} }\\\\\\\textsf{Portanto para que ambos os ve\'iculos cheguem ao mesmo}\\\textsf{tempo em C, o ve\'iculo que parte de A, \underline{ap\'os} o trajeto fi\underline{s}}\\\textsf{calizado, ter\'a de manter uma velocidade m\'edia igual a}\\\textsf{122.5 km/h.}$