Question

Deduza a fórmula do volume de um cone circular reto de altura h e raio r usando um sólido de revolução adequado.

Answer 1

Observe a figura em anexo ao final desta resposta.


•  No plano cartesiano, marca-se dois pontos:

$\mathsf{A(0,\,r)~e~B(h,\,0)\qquad}\textsf{com }\mathsf{r>0~e~h>0.}$


•   Agora, vamos encontrar a equação da reta que passa pelos pontos A e B (esta será a reta geratriz do cone):

$\mathsf{g:~~\dfrac{y-y_{_A}}{x-x_{_A}}=\dfrac{y_{_B}-y_{_A}}{x_{_B}-x_{_A}}\qquad(x_{_B}\ne x_{_A})}$


Note que o lado direito da igualdade acima fornece o coeficiente angular da reta que passa por A e B. Podemos reescrever a equação acima assim:

$\mathsf{g:~~y-y_{_A}=\dfrac{y_{_B}-y_{_A}}{x_{_B}-x_{_A}}\cdot (x-x_{_A})\qquad(x_{_B}\ne x_{_A})}$


Substituindo as coordenadas dos pontos A e B, obtemos

$\mathsf{g:~~y-r=\dfrac{0-r}{h-0}\cdot (x-0)}\\\\\\ \mathsf{g:~~y-r=-\,\dfrac{r}{h}\cdot x}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{g:~~y=-\,\dfrac{r}{h}\,x+r} \end{array}}$


A equação acima expressa y como uma função de x, e seu gráfico é uma reta decrescente que passa pelos pontos $\mathsf{A(0,\,r)~e~B(h,\,0).}$

__________


O cone que estamos interessados não é gerado por toda a reta, apenas por um segmento:

$\mathsf{y=-\,\dfrac{r}{h}\,x+r\qquad 0\le x\le h}$

(o cone é o sólido obtido pela revolução do segmento acima)


Usando o método das seções transversais:

Dado um x qualquer

onde $\mathsf{0\le x\le h,}$

a área da seção transversal do sólido é dada por

$\mathsf{A(x)=\pi\cdot y^2}\\\\ \mathsf{A(x)=\pi\cdot \left(-\dfrac{r}{h}\,x+r\right)^{\!2}}$


e o volume do cone é obtido pelo cálculo da seguinte integral definida:

$\mathsf{V=\displaystyle\int_0^h \! A(x)\,dx}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\int_0^h\! \pi\cdot \left(-\frac{r}{h}\,x+r\right)^{\!2}dx}\qquad\quad\textsf{desenvolvendo o quadrado...}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\int_0^h\! \pi\cdot \left(\frac{r^2}{h^2}\,x^2-\frac{2r^2}{h}\,x+r^2\right)dx}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\int_0^h\!\left(\frac{\pi r^2}{h^2}\,x^2-\frac{2\pi r^2}{h}\,x+\pi r^2\right)dx}$


Usando a propriedade das integrais, passamos as constantes para fora, e somamos as integrais

(linearidade da integral definida)

$\mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\int_0^h\!x^2\,dx-\frac{2\pi r^2}{h}\int_0^h\!x\,dx+\pi r^2\int_0^h\! 1\,dx}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{x^3}{3}\bigg|_0^h-\frac{2\pi r^2}{h}\cdot \frac{x^2}{2}\bigg|_0^h +\pi r^2\cdot x\big|_0^h}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot\left( \frac{h^3}{3}- \frac{0^3}{3}\right)-\frac{2\pi r^2}{h}\cdot \left( \frac{h^2}{2}- \frac{0^2}{2}\right) +\pi r^2\cdot (h-0)}$

$\mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2}{h^2}\cdot \frac{h^3}{3}-\frac{2\pi r^2}{h}\cdot \frac{h^2}{2}+\pi r^2\cdot h}\\\\\\ \mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2}{\diagup\!\!\!\!\! h^2}\cdot \frac{\diagup\!\!\!\!\! h^2\cdot h}{3}-\frac{\diagdown\!\!\!\!\! 2\pi r^2}{\diagup\!\!\!\!\! h}\cdot \frac{\diagup\!\!\!\!\! h\cdot h}{\diagdown\!\!\!\!\! 2}+\pi r^2\cdot h}$

$\mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2\,h}{3}-\pi r^2\,h+\pi r^2\,h}\\\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{V=\displaystyle\frac{\pi r^2\,h}{3}} \end{array}}$


que é a tão conhecida fórmula para o cálculo do volume do cone.


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Bons estudos! :-)


Tags: integral definida volume sólido revolução cone área seção transversal cálculo integral