Question

Determine a e b tais que x ^ 4 + 3x² + ax + b seja divisivel por x² +ax + 2?

Answer 1

Para que um polinômio seja divisível por outro ele deve ter entre suas raízes as raízes do polinômio divisor.

Sendo x₁ e x₂ as raízes de x²+ax+2 , temos :

1) x₁+x₂ = -a/1 = - a
2) x₁.x₂ = 2/1 = 2

Sendo x₁, x₂, x₃ e x₄ as raízes de x⁴+0x³+3x²+ax+b , pelas relações de Girard , temos :

1) x₁+x₂+x₃+x₄ = -0/1 = 0

(x₁+x₂)+x₃+x₄ = 0

-a+x₃+x₄ = 0 

x₃+x₄ = a


2) x₁.x₂.x₃.x₄ = b/1 = b

(x₁x₂).x₃.x₄ = b

2x₃x₄ = b

x₃.x₄ = b/2

3) x₁x₂ + x₁x₃ + x₁x₄ + x₂x₃ + x₂x₄ + x₃x₄ = 3/1 = 3

(x₁x₂) + (x₁+x₂)(x₃+x₄) + (x₃x₄) = 3

2 + (-a).a + b/2 = 3

b/2 - a² = 1

4) x₁x₂x₃ + x₁x₂x₄ + x₁x₃x₄ + x₂x₃x₄ = -a/1 = -a

(x₁x₂).(x₃+x₄) + (x₁+x₂).(x₃x₄) = -a

2.a + (-a).b/2 = -a

3a = ab/2

3 = b/2

b = 3.2 = 6

Como b/2 - a² = 1 :

b/2 - a² = 1

6/2 - a² = 1

3 - a² = 1

a² = 2

a = √2

ou

a = -√2