Question

( CN ) Qual deverá ser o menor número inteiro que somado a cada um dos números 6, 8, 14, obtém-se as medidas dos lados de um triângulo em que o ortocentro está no seu interior ?

Answer 1

Traçando as alturas e marcando o ortocentro no interior de um triangulo vemos facilmente que esse triangulo deve ser acutangulo , visto que , as alturas formam triangulos retangulos internos e fazem com que os angulos dos vertices sejam menores que 90° . Então para que o ortocentro seja interno ao triangulo ele deve ser acutangulo .

Num triangulo acutangulo sabemos que :

pela síntese de clairaut : a² < b²+c² , onde a é o maior lado do triangulo

Sendo x o menor numero que deve ser somado a 6 , 8 e 14 para obter os lados de um triangulo com ortocentro interno , temos :


(14+x)² < (6+x)² + (8+x)²

196+28x+x² < 36+12x+x² + 64+16x+x²

196+28x+x² < 100+28x+2x²

96 < x²

x² > 96 

Então : x > 9,8.. e o menor inteiro maior que 9,8.. é 10 .

x = 10

E o triangulo formado teria lados : 16 , 18 e 24 , testemos se ele é realmente acutangulo :


24² < 16²+18²

576 < 256 + 324

576 < 580 (verdade)