Question

Para quais valores de x a função é positiva? fx=logx^2/12-x/3 na base 0,37?????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Answer 1

Vamos lá.

Bem, pelas opções dadas, então estamos entendendo que a sua questão esteja escrita da seguinte forma (se não for você avisa, ok?):

f(x) = log₀,₃₇ [x²/12 - x/3] ------ E, se queremos que esta função seja maior do que zero, então faremos isto:

log₀,₃₇ [x²/12 - x/3] > 0

Agora vamos passo a passo para um melhor entendimento.

i) Se a questão terá que ser maior do que zero, então o logaritmando terá que ser, necessariamente, diferente de "1", pois o logaritmo de "1" (em qualquer base) SEMPRE é igual a "0". E, como queremos que a função seja positiva, então deveremos impor que o logaritmando [x²/12 - x/3] seja diferente de "1". Assim:

x²/12 - x/3 ≠ 1 ----- mmc, no 1º membro = 12. Assim, utilizando-o, teremos;
(1*x² - 4*x)/12 ≠ 1
(x² - 4x)/12 ≠ 1 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
x² - 4x ≠ 12*1
x² - 4x ≠ 12 ---- passando "12" para o 1º membro, teremos:
x² - 4x - 12 ≠ 0 ----- se você aplicar Bháskara, verá que as raízes serão:

x' = -2
x'' = 6

Agora vamos analisar a variação de sinais da equação "x²-4x-12" em função de suas raízes.Assim:

x²-4x-12≠0...+ + + + + + (-2)- - - - - - - - - - - - - - - (6)+ + + + + + + + + +

Ou seja, a função será positiva antes de (-2) e depois de (6), será negativa entre (-2) e "6" e será igual a zero em x = -2 e x = 6.

ii) Bem, visto o aspecto relacionado com a função ser diferente de "1", vamos, agora, encontrar quais serão as raízes da função original, que é [x²/12 - x/3] ainda no logaritmo e que é esta:

log₀,₃₇ [x²/12 - x/3] > 0 ------ vamos passar para a base "10", com o que ficaremos assim:

log₁₀ [x²/12 - x/3] / log₁₀ [0,37] > 0

Antes veja que log₁₀ (0,37) = - 0,4318 (aproximadamente). Assim, ficaremos:

log₁₀ [x²/12 - x/3] / -0,4318 > 0

Ora, se queremos que log₁₀ [x²/12-x/3] seja positivo e ele está sendo dividido por um número negativo, então é porque todo o logaritmo do numerador deverá ser negativo, pois, na divisão, menos com menos dá mais. Logo, deveremos impor que:

log₁₀ [x²/12 - x/3] < 0 .

Agora note: o logaritmando (x²/12 - x/3) deverá ser diferente de zero, pois não há logaritmo de "0" nem de números negativos. E quem faz com que uma função seja igual a zero são as suas raízes.
Então vamos encontrar quais são as raízes da função acima. Para isso, igualaremos a zero apenas para encontrar as raízes. Assim:

x²/12 - x/3 = 0 ----encontrando o mmc, que é igual a 12, teremos:
(1*x² - 4*x)/12 = 0
(x² - 4x)/12 = 0 --- multiplicando-se em cruz, teremos;
x² - 4x = 12*0
x² - 4x = 0 ----- se colocarmos "x" em evidência, ficaremos:
x*(x-4) = 0 ----- daqui você já poderá concluir que:

ou
x = 0 ---> x' = 0

ou
x-4 = 0 ---> x'' = 4.

Assim, como se vê, "x' não poderá ser nem "0" nem "4", pois aí iríamos ficar com logaritmo de zero e isso não existe.

Agora vamos ver qual é a variação de sinais da inequação log₁₀ [x²-4x] < 0. Assim:

log₁₀ (x² - 4x) < 0 .....+ + + + + + (0) - - - - - - - - - - - - (4)+ + + + + + + + +  

Veja: só valerá onde tiver sinal de menos aí em cima, ou seja, ficará entre 0 e 4.

iii) Finalmente, agora, vamos ver onde estará a intersecção entre os dois gráficos. O que encontramos quando fizemos a função diferente de "1" e, agora quando fizemos que log₁₀ (x²-4x) < 0. Assim:

x²-4x-12≠0...........+ + + + + + (-2)- - - - - - - - - - - - - - - - - - - (6)+ + + + + + +
log₁₀(x² - 4x) < 0 ..+ + + + + + + + + + +(0) - - - - - -  (4) + + + + + + + + + + +
Intersecção.........+ + + + + + (-2)- - - - (0) + + + + + (4)- - - - (6)+ + + + + +

Como queremos que a intersecção seja menor do que zero, então só nos interessará onde tiver sinal de menos na intersecção acima, ou seja:

-2 < x < 0,  ou 4 < x < 6 ------ Esta é a resposta.

Ou seja, se quiser, você poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa;

S = {x ∈ R | -2 < x < 0, ou 4 < x < 6}  <--- Esta é a resposta. Opção "E".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.