Question

A equação ( x - 2 )2 + y2 = 8 representa uma circunferência no plano cartesiano e A , B e C são os vértices de um triangulo inscrito nesta circunferência,
com dois lado paralelos aos eixos coordenados e outro lado paralelo a reta y = -x

Nessas condições, a área do triangulo de vértices A , B , C é igual a :
A. 8ua
B. 10ua
C. 12ua
D. 16ua

Answer 1

É dada uma equação reduzida da circunferencia e por ela podemos identificar alguns elementos da circunferncia. Lembre que a equação geral reduzida é
(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

(x-2)^2 + y^2 = 8

Raio da circunferencia:

Sabemos que o raio ao quadrado é igual ao termos independente da equação então, 

r^2 = 8
r = √8 = 2√2

Centro da circunferencia:

Na equação reduzida da circunferencia, o centro é dado pelos pontos a e b

(x-2)^2 + y^2 = r^2

No nosso caso, temos que o centro da circunferencia é x=2 e y=0

A questão estabelece que o triangulo inscrito tem dois lados paralelos aos eixos ?? (suponho que sejam os eixos do plano cartesiano) e o outro lado paralelo a uma reta dada pela equação  y = -x.

Esta reta, como podemos ver, tem seus pontos equidistintantes do eixo x e y, pois está a 135°

Deste modo, a única maneira de o triangulo estar inscrito na circunferência e ter dois lados paralelos ao eixos cartesianos x e y e ao mesmo tempo ter um lado paralelo a uma reta de 135° (45° pois, y=-x) é o da reta paralela que estabelece um dos lados do triangulo passar pelo cento do mesmo. em qualquer outro ponto que se colocar esta reta, não conseguiremos configurar o paralelismo dos outros dois lados do triangulo com os eixos cartesianos.  (Veja figura)

Agora que sabemos a configuração do triangulo, temos que calcular as coordenadas de cada vértice do triangulo para determinar as medidas e calcular a área pedida.

Como a reta que determina o lado do triangulo paralelo a reta y= -x passa pelo centro da circunferência, a sua equação deverá ser a mesma da reta dada, só que deslocada em x em +2 unidades, pois o centro da circunferência passa em x =2 e y=0. E portanto, este lado triangulo tem a mesma medida do diâmetro da circunferência. Assim, a equação desta reta é

y = -x + 2

Para saber o ponto onde a reta cruza a circunferencia e assim saber os vertices do triangulo vamos estabelecer um sistema entre as duas equações:

(x-2)^2 + y^2 = 8
y = -x +2

Substituindo y da reta em y da circunferência teremos:

(x-2)^2 + (2-x)^2 = 8             obs: (-x+2) = (2 - x)

x^2 -4x + 4 + 4 -4x + x^2 = 8

2x^2 - 8x + 8 - 8 = 0

2x^2 - 8x = 0

x(2x - 8) = 0

x = 0

2x - 8 = 0

x = 8/2

x = 4

Então temos que um vertice tem x = 0 e o outro vertice tem x = 4. 

Agora vamos calcular o y do vértice.

y = -x +2

y = -0 +2

y = 2

Então temos o primeiro vertice no ponto  (0, 2)

y = -x +2

y = -4 + 2

y = -2

o segundo ponto é (4,-2)

O terceiro vertice é dado pelo encontro dos lados paralelos ao plano cartesiano nos pontos na x do ponto G (veja figura) e y no ponto E. Portanto, o ponto F do 3º vertice está em (4,2).

Como temos o triangulo formado e seus pontos estabelecidos, podemos agora proceder ao cálculo da sua área.

A a´rea de um triangulo é

Atri = (base x altura)/2

Tomando como base o lado GF e como altura o lado EF, e sabendo que eles são iguais temos:

GF = EF = (yE - yG) = (xG - xE)

GF = EF = (2-(-2)) = (4 - 0)

GF = EF = 4

Assim temos, 

Atri = (b x h) /2

Atri = (4 x 4) /2

Atri = 16/2

Atri = 8

Pronto, a área do triangulo é igual a 8 ua

(Lembrando que seu enunciado está truncado e que considerei dois lados do triangulo paralelo aos eixos cartesianos x e y e o outro à reta y = -x)

Espero ter ajudado